求曲线所有渐近线（求曲线的所有渐近线）

求渐近线的程序：

1.先求 limx→±∞f(x)x\lim_{x\to \pm\infty}\frac{f(x)}{x} ，若存在水平渐近线则结果为0，若存在斜渐近线则结果为非0有限值，若存在垂直渐近线或不存在渐近线则结果为无穷。

2-1.设第一步求得的有限值极限为 AA ，则接下来求

limx→±∞f(x)−Ax\lim_{x\to \pm\infty}f(x)-Ax

设第二步求得的极限为 BB ，则有

f(x)∼Ax+Bf(x)\sim Ax+B

2-2.研究原函数的极点，找出垂直渐近线。

现在我们思考怎么解决隐函数的问题。

隐函数，就是 F(x,y)=0⇔y=f(x)F(x,y)=0 \Leftrightarrow y=f(x)

那么我们代入 f(x)=yf(x)=y 得：

A=limx→±∞yxA=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{y}{x}

若结果为非零有限值，则 x→∞x\to \infty 时， y→∞y\to \infty ，原式可以写成：

A=limy→±∞yxA=\lim_{y\to \pm\infty}\frac{y}{x}

设 k=yxk=\frac{y}{x} ，现在我们需要做的是解出在 F(x,y)=0F(x,y)=0 的约束条件下，求 (x,y)→(∞,∞)(x,y)\to(\infty,\infty) 时 kk 的极限。

解决办法很简单——首先尝试表达出k，接着在约束条件下使剩下的变量趋于无穷，然后就手到擒来了。

对于你的问题，可以这么做：

xy=eyy2\frac{x}{y}=\frac{e^y}{y^2}

k=y2eyk=\frac{y^2}{e^y}

然后令 y→+∞y\to+\infty ，得

A=0A=0

然后我们试着求截距。这次我们定义目标函数

b=y−Axb=y-Ax

然后在约束条件下令 x→+∞x\to +\infty 或 y→+∞y\to +\infty ，得出答案。

这里

b=yb=y

有点绕，我们试着看看 x→+∞x \to +\infty 时的情况。

x=eyyx=\frac{e^y}{y}

画出函数图像，可知y有2个解，其中一个解趋于无穷，另一个解趋于0

所以我们可以有 x→+∞,y→0x\to +\infty,y\to 0 。

也就是说， y=Ax+B=0y=Ax+B=0 是原函数的水平渐近线。

总结：

在约束条件 F(x,y)=0F(x,y)=0 时，

求目标函数 k=yxk=\frac{y}{x} 的极限，作为 AA

再求目标函数 b=y−Axb=y-Ax 的极限，作为 BB

接下来找垂直渐近线。

当 x=0x=0 时， ey=0e^y = 0 无解，这是一个极点，也是它的垂直渐近线，证明留作习题