本
文
摘
要
求解曲线轨迹在高考中较为常见，今天就来总结一下求解曲线轨迹的基本方法吧
话不多说直接撸题
1.直接法：（找到一个等式关系，把解题设出的所有参数全部用（x,y）代换，得出x与y的关系）
例1.与圆A x2+y2−4x=0x^{2}+y^{2}-4x=0 外切，且与y轴相切的动圆圆心M的轨迹方程是？
解：设M（x,y）,动圆半径为r,与圆 A：x2+y2−4x=0x^{2}+y^{2}-4x=0 外切 ⇔\Leftrightarrow M点与A点的距离为两圆半径之和 ⇔\Leftrightarrow
（）（x−2）2+(y)2−2=r\sqrt{（x-2）^2+(y)^2}-2=r ，又因为与y轴相切 ⇔\Leftrightarrow r= |x|\left| x \right|
所以联立消去r然后分类讨论得到：当 x>0，则，则 y2=8xy^{2}=8x ;当x ，≤0，y=0\leq0，y=0
当然这题也可以的通过几何关系直接得出：当动圆在y轴右侧，则圆心到定点遇到定直线的距离相等，其轨迹为抛物线；当动圆在y轴左侧，则动圆圆心的轨迹是x负半轴，方程为y=0
还有一题就留给读者练手了~如图，平面上两条直线AP与AB互相垂直，AB=1,AP=3,D在直线AB上，AD=4，平面上，动点M在直线AB上的射影为点N，满足DM=2BN.
2.相关点法（代入法）：通过相关点的等式关系实现x与y的关系
简单来说就是如果我们需要求一个点的轨迹，我们可以通过这个点和另一个关系，表示出另一个点，然后我们只需要找到这个点的轨迹方程，代入就可以得到所需要的轨迹方程了。
下面通过一道题举个栗子，(2017.全国卷2文数T20）设O为坐标原点，动点M在椭圆 x22+y2=1\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1 上过M作x轴德垂线，垂足为N，NP= 2\sqrt{2} NM,求解P点的轨迹方程。
解：将所需要求的点设为(x,y)，所以设P的坐标为(x,y),则N（x,0）
又因为NP= 2\sqrt{2} NM，所以M（x, 22y\frac{\sqrt{2}}{2}y ）,因为M在椭圆上，所以得到曲线轨迹为 x2+y2=2x^{2}+y^{2}=2 .
思考题：M为抛物线 y2=xy^{2}=x 上一动点，O为原点，以OM为一边做正方形MNPO，求动点的轨迹方程？
3.参数法！1！（引入参数，然后消去参数，得到轨迹方程）
一般来说，参数法求动点的轨迹方程，我们可以将点的x,y坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用‘消去法’消去所含的参数，即所求的轨迹方程
例1.已知抛物线 y2=2xy^2=2x ,点A、点B、是抛物线上两点，且 OA⊥OBOA\bot OB ,求AB中点M的轨迹.
解：设直线OA: y=kxy=kx ,则直线OB： y=−1kxy=-\frac{1}{k}x .
联立y2=2xy^2=2x 和和和 y=kxy=kx （）A⇒（2k2,2k）A\Rightarrow （\frac{2}{k^2} ,\frac{2}{k}） 同理：B（ 2k2,−2k2k^{2},-2k ）（观察两个直线的方程B的坐标只需用 −1k-\frac{1}{k} 代替 kk 得到）
设AB的中点坐标为（x,y）,则
x= 1k2+k2\frac{1}{k^2}+k^{2} ,y= 1k−k\frac{1}{k}-k ,接下来看我消去参数了：
观察发现， k⋅1kk\cdot\frac{1}{k} =1,所以 （）（1k−k）2（\frac{1}{k}-k）^{2} = 1k2+k2\frac{1}{k^2}+k^{2} -2，所以轨迹为 y2=x−2y^2=x-2
例2.已知圆的方程为 x2+y2=r2,x^2+y^2=r^2, 圆内有定点P（a,b）圆周上有两个动点A,B使PA ⊥\bot PB，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程？
那个89度就不用介意了~设A（ rcosα,rsinαrcos\alpha,rsin\alpha ）,B( rcosβ,rsinβrcos\beta,rsin\beta ),Q( x,y)x,y) ,
由AB中点与PQ中单重合可得:x+a=rcos β\beta +rcos α\alpha ,y+b=rsin α\alpha +rsin β\beta ,
又由PA ⊥\bot PB得 rsinα−brcosα−a⋅rcosβ−brcosβ−a\frac{rsin\alpha-b}{rcos\alpha-a}\cdot\frac{rcos\beta-b}{rcos\beta-a} =-1,l联立三式可得Q点轨迹
这题用参数方程还是比较麻烦的，还有更简单的方法，大家可以思考下
例3.椭圆 x216+y24=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^2}{4}=1 上有两点P、Q、O为原点，连OP、OQ，若 kop⋅koq=−14k_{op}\cdot k_{oq}=-\frac{1}{4} ,求线段PQ中点的轨迹方程？
解：运用‘三角换元’得到{ x=4cosθx=4cos\theta , y=2sinθy=2sin\theta ,因为P、Q在椭圆上，所以P（ 4cosα4cos\alpha , 2sinα2sin\alpha ）,Q (4cosβ,2sinβ(4cos\beta,2sin\beta ).
1.由于 kop⋅koq=−14k_{op}\cdot k_{oq}=-\frac{1}{4} ，所以得到 cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ=0cos\alpha\cdot cos\beta+sin\alpha \cdot sin\beta=0 ⇒cos(α−β)\Rightarrow cos(\alpha-\beta) =0
由中点坐标公式可得线段PQ的中点M的坐标为{ xM=2(cosα+cosβ)x_{M}=2(cos\alpha+cos\beta) , yM=sinα+sinβy_{M}=sin\alpha+sin\beta
参数法的最后一步就是消去参数，而我们已经引入了4个参数了，看上去很难搞.由1. cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ=0cos\alpha\cdot cos\beta+sin\alpha \cdot sin\beta=0 ，我们只知道中点M的坐标表示为 xM=2(cosα+cosβ)x_{M}=2(cos\alpha+cos\beta) ， yM=sinα+sinβy_{M}=sin\alpha+sin\beta ，我们只有1.这个条件，我们该怎么往1.转化呢？
接下来不难想到完全平方公式，运用完全平方公式可得 (x2)2+y2=cosα2+cosβ2+sinα2+sinβ2(cosα+cosβ+sinα+sinβ)(\frac{x}{2})^2+y^2=cos\alpha^2+cos\beta^2+sin\alpha^2+sin\beta^2(cos\alpha+cos\beta+sin\alpha+sin\beta) ,然后运用同角的三角函数关系得到轨迹为 x28+y22=1\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1 !
4.定义法（若已知动点P的运动规律符合已知的某种曲线的定义，则可先设出方程，再根据已知条件待定方程的系数）
例1、已知A,B,C是直线L上的三点，且AB=BC=6，圆O切直线L于点A，又过B、C作圆O异于L的两切线，设这两切线交于点M，求点M的轨迹方程？
由题意得：BM和CM为圆的切线 ⇒\Rightarrow DM=FM,同理CF=CA=12，BD=BA=6，所以MB+MC=CM+FM+BD=CF+BD=18，符合椭圆第一定义，接下来建系各位随意啦~
例2.已知椭圆 x23+y22=1\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1 ,设该椭圆的左右焦点分别为F1和F2，直线L1过F2且与X轴垂直，动直线L2与y轴垂直，l2交l1于点P,求线段PF1中垂线与L2的交点E的轨迹方程,并指出曲线类型
由题意得：E为线段PF1中垂线上的点，所以EP=EF1,符合抛物线的定义，所以E的轨迹是以定点F1为交点，以L1为准线的抛物线，所以其轨迹方程为 y2=−4xy^{2}=-4x
记忆一些二级结论对解决曲线轨迹问题
1.定圆上一动点与圆内一定点的中垂线与其半径的交点的轨迹为椭圆
定圆上一动点与圆外一定点的中垂线与其半径的交点的轨迹为双曲线
定直线（可视为无穷大定圆）上一动点与直线外一定点的线段的中垂线与其半径（垂直于定直线）的交点的轨迹为抛物线
2.圆锥曲线的定义（除江苏外，其他省份都删掉了圆锥曲线第二定义，但高考有可能以其为背景进行考察，所以了解一下很有好处）
圆锥曲线的结论还有很多，有兴趣的可以买些结论书
5.交轨法（非常冷门）交轨法是参数法的简单处理方法，求两动曲线的交点轨迹常用交轨法，即直接联立方程消去参数，而不必先解出动点轨迹参数问题，再消参数
例，已知圆M： 是轴上的动点，、分别切圆于、两点，求动弦中点的轨迹方程。x2+(y−2)2=1,Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A、B两点，求动弦AB中点P的轨迹方程。x^{2}+(y-2)^2=1,Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A、B两点，求动弦AB中点P的轨迹方程。
连接MB、MQ，设P（x,y）,Q(a,0)
因为M、P、Q在同一直线上，得到2x+ay+2a=0
由射影定理可得 |MB|2=|MP|⋅|MQ|\left| MB \right|^2=\left| MP \right|\cdot\left| MQ \right| ,所以 x2+(y−2)2⋅a2+4=1\sqrt{x^2+(y-2)^2}\cdot\sqrt{a^2+4}=1
联立消去参数得到 （）x2+（y−74）2=116x^{2}+（y-\frac{7}{4}）^2=\frac{1}{16} (注意到y<2，求解曲线轨迹时必须注意是否需要挖去一些点),
6.极坐标法（圆锥曲线的极坐标方程可通过圆锥曲线统一定义推出）
圆锥曲线统一的极坐标方程已知椭圆 x224+y216=1\frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{16}=1 ，直线l,P是l上一点，射线OP叫椭圆于点R，由点Q在OP上且满足 |OQ|⋅|OP|=|OR|2\left| OQ \right|\cdot\left| OP \right|=\left| OR\right|^2 ,当点P在l移动时，求点Q的轨迹方程。
以椭圆中心为极点， OXO_{X} 为极轴，则椭圆的极坐标方程为： ρ2=482cosα2+3sinα2\rho^2=\frac{48}{2cos\alpha^2+3sin\alpha^2}
直线L的极坐标方程: 242cosα+3sinα\frac{24}{2cos\alpha+3sin\alpha} ，根据所给的约束条件， ρQ⋅ρP=ρR2\rho_{Q}\cdot \rho_{P}=\rho_{R}^2 ,由两边除去 ρQ2\rho_{Q}^2
得到轨迹方程为 2x2+3y2=4x+6y2x^2+3y^2=4x+6y
极坐标用来解决有些圆锥曲线问题很简单，比如这题几乎没有计算量。。一般地，出现共线的约束条件，并且条件中出现了曲线焦点的问题可以考虑使用极坐标系P.S大题最好别用！
鄙人才疏学浅，肯定还有没有考虑到的问题，希望有心人指出，以便更正，蟹蟹~
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