怎样求代数式的最小值（一个代数式的最小值怎么求）

若置 y=−x2+23x−2y=\sqrt{-x^2+2\sqrt{3}x-2} ，则 (x−3)2+y2=1\left( x-\sqrt{3} \right) ^2+y^2=1 。第一个式子就是

5−4y+223x−1+2y2=12(y−2)2+(x−3)2+(y+1)2+x2\frac{\sqrt{5-4y}+2\sqrt{2\sqrt{3}x-1+2y}}{2}= \\\frac{1}{2}\sqrt{\left( y-2 \right) ^2+\left( x-\sqrt{3} \right) ^2}+\sqrt{\left( y+1 \right) ^2+x^2}

于是所求式就是 min{12(y∓2)2+(x−3)2+(y±1)2+x2}\min \left\{ \frac{1}{2}\sqrt{\left( y\mp 2 \right) ^2+\left( x-\sqrt{3} \right) ^2}+\sqrt{\left( y\pm 1 \right) ^2+x^2} \right\} 。

(吐槽：原题难道不是求线段和最短吗？这套那个模型应该是一个萝卜一个坑啊。还是说求别的题能得到这个根式，离大谱！)

这两个距离的几何意义可以转化成：

在圆 (x−3)2+y2=1\left( x-\sqrt{3} \right) ^2+y^2=1 上找一点 PP ，使得对于 A(0,−1),B(3,2)A(0,-1),B(\sqrt3,2) , PA+12PBPA+\frac{1}{2}PB 的最小值。

如果把坐标轴丢掉，就是

那么解答如下：

其中 DD 为 OCOC 中点，这蕴含 ⊙O\odot O 是满足 PD=12PBPD=\frac{1}{2}PB 的 *** 尼斯圆，那么

PA+12PB=PA+PD≥AD=22+(12)2−2⋅2⋅12⋅cos⁡2π3=4+14+1=212\begin{align} PA+\frac{1}{2}PB&=PA+PD\ge AD \\ &=\sqrt{2^2+\left( \frac{1}{2} \right) ^2-2\cdot 2\cdot \frac{1}{2}\cdot \cos \frac{2\pi}{3}} \\ &=\sqrt{4+\frac{1}{4}+1}=\frac{\sqrt{21}}{2} \end{align}

这也是所谓的加权的古堡朝圣= =