35.6度体温正常吗（腋下31度体温正常吗）

目标与步骤：

　　1. 爸爸去哪儿【问题引入】；

　　2. 先来一口试试【De Rham上同调初探】;

　　3. 简单才好【微分形式和de Rham上同调的定义】；

　　4. 来揉橡皮泥吧【同胚与同伦】；

5. 互相帮助，共同进步【上同调的计算】

　　6*. 由弱变强之道【Hodge分解】

既然7月番都已经上线了，我同时也刚刚好结束了整个暑假的开(gong)会(fei)学(lv)习(you)计划，也是时候该回来拍点东东了喵~ =￣ω￣=

这次我计划探讨的内容属于代数拓扑中的一个微小的角落：De Rham上同调。暂定的计划是从微积分里的一个问题入手，介绍微分形式，外微分，De Rham上同调（根据情况可能谈到链复形（chain complex）和Mayer-Vietoris序列）及其应用。（不过计划也会随着情况改变的哈哈哈哈~）

其实代数拓扑的东东我也不是很熟悉，毕竟自己仅仅是偶尔使用一些其中的定理而已。因此如果有什么错误还请大家多多指出，多多包涵~

　　就让我们共同学习吧~(*°▽°*)╯

　　【我是二维码】（知乎开启了二维码自动检测功能，所以我就不能贴二维码图片了QAQ）

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　　让我们又从基础的微积分开始我们的旅行吧~

从牛顿莱布尼兹那儿我们知道，给定一个R\mathbb R上的光滑函数g∈C∞(R)g\in C^\infty(\mathbb R)我们可以找到一个（光滑）函数ff使得它的导数f′=gf=g. 这个函数ff我们就尊称为函数gg的原函数，简称爸爸，俗称爹……

一维的情况比较简单，因为一个父亲最多只可能有一个孩子（又称为“One-child Policy”）. 可惜到了高维欧氏空间情况就不太一样了。比如在平面R2\mathbb R^2上，一个光滑函数ff在任意一个点xx处都会有无数个（方向）导数，因为任取一个方向我们都可以把ff限制在过点xx的对应直线上，将其看做一个一维的函数然后求导。不过由于函数ff是光滑的，所以我们知道沿着坐标轴方向的两个偏导数∂1f=∂f∂x1\partial_1 f=\frac {\partial f}{\partial x_1}和∂2f=∂f∂x2\partial_2 f=\frac {\partial f}{\partial x_2}是最好的，是最重要的，是我们大家都支持的，因为任意的方向导数都可以用它们的线性组合（通过内积的形式）表示出来。故而，得此二人者可得天下……(๑•̀ㅂ•́) ✧

既然如此，那我们就要问了：如果给定两个函数g1,g2∈C∞(R2)g_1,\,g_2\in C^{\infty}(\mathbb R^2)，我们就一定能找到一个函数f∈C∞(R2)f\in C^\infty(\mathbb R^2)使得∂1f=g1\partial_1 f=g_1且∂2f=g2\partial_2 f=g_2吗？

　　让我们不妨来试着找找一些必要的条件吧：假设存在这样的光滑函数ff。嘛，既然ff是光滑的，那我们就有

∂2g1=∂2∂1f=∂1∂2f=∂1g2.\partial_2 g_1=\partial_2\partial_1 f=\partial_1 \partial_2 f=\partial_1 g_2.

所以如果上面的问题要存在解，我们就需要加入必要条件∂1g2=∂2g1\partial_1 g_2=\partial_2 g_1; 因此并不是任意的两个光滑函数都可行滴。

　　好了，假设我们加入了这个必要条件，那我们就有解了吗？

解偏微分从来就不是一件容易的事。不过好在这里的方程比较简单，我们因此可以尝试性地去猜一下（反正又不会怀孕的）。就像我们在一维所做的那样，我们令

f(x)=f(x1,x2)=∫01x⋅(g1(tx),g2(tx))dt=∫01x1g1(tx1,tx2)+x2g2(tx1,tx2))dtf(x)=f(x_1,\,x_2)=\int_{0}^{1} x\cdot (g_1(tx),\,g_2(tx))\,dt=\int_{0}^{1}x_1g_1(tx_1,\,tx_2)+x_2g_2(tx_1,\,tx_2))\,dt,

其中的⋅\cdot表示内积. 换句话说，我们对函数ff的构造，就是沿着连接(0,0)(0,\,0)到x=(x1,x2)x=(x_1,\,x_2)的直线关于对应的方向导数积分：暴力地说，我们给g1,g2g_1,\,g_2钦定了一个“爸爸”。

钦定总是不太好的，所以我们紧接着就需要来检验ff是否真的能够让我们满意了。首先我们将ff向x1x_1方向求一下偏导吧。

∂1f(x)=∫01g1(tx)+tx1∂1g1(tx)+tx2∂1g2(tx)dt\partial_1 f(x)=\int_{0}^{1}g_1(tx)+tx_1\partial_1 g_1(tx)+tx_2\partial_1 g_2(tx)\,dt.

看起来好复杂的样子。不过我们还有条件∂1g2=∂2g1\partial_1 g_2=\partial_2 g_1呢。把它塞到上面的式子里面去，我们就得到（其中的⋅\cdot表示内积）

∂1f(x)=∫01g1(tx)+tx1∂1g1(tx)+tx2∂2g1(tx)dt=∫01g1(tx)+tx⋅∇g1(tx)dt\partial_1 f(x)=\int_{0}^{1}g_1(tx)+tx_1\partial_1 g_1(tx)+tx_2\partial_2 g_1(tx)\,dt=\int_{0}^{1} g_1(tx) + tx\cdot \nabla g_1(tx)\,dt.

桥豆麻袋，积分号里的东东似乎有那么一点意思：

g1(tx)+t∇g1(tx)⋅x=ddt(tg1(tx))g_1(tx)+t \nabla g_1(tx)\cdot x=\frac d {dt} \left(tg_1(tx)\right).

将这个东东加进去，我们就得到了

∂1f(x)=[tg1(tx)]|t=01=g1(x)\partial_1 f(x)=[tg_1(tx)]|_{t=0}^1=g_1(x).

同样的方法，我们可以得到∂2f(x)=g2(x)\partial_2 f(x)=g_2(x). 可喜可贺，可喜可贺，我们一个钦定的“爸爸”居然还真的是原装的~撒花撒花~ ε=ε=(ノ≧∇≦)ノ

不过回过头让我们看一下，我们的结论是否能够推广到平面上的任意一个开 *** UU呢？（求导的定义需要在一个邻域内进行，所以我们需要考虑开集。【是的，这很自然。】）因此我们接下来就要考察一个问题：在整个构造过程中我们究竟用到了什么啊？

在函数ff的定义中，我们用到了这样的一个性质：对于任意一点xx，都存在一个固定的点x0∈Ux_0\in U使得连接它们俩的线段包含在UU中；这样才使得我们的积分能够定义。这样的区域UU被称为星形（star-shaped）区域。显然矩形啊圆形啊三角形啊什么的都是星形区域。因此，用上面的方法我们可以得到，对于平面上的任意一个星形区域UU，给定两个函数g1,g2∈C∞(U)g_1,\,g_2\in C^{\infty}(U)且∂1g2=∂2g1\partial_1 g_2=\partial_2 g_1, 我们都能找到一个函数f∈C∞(R2)f\in C^\infty(\mathbb R^2)使得∂1f=g1\partial_1 f=g_1并且∂2f=g2\partial_2 f=g_2.

　　好极了。那是不是平面上的所有区域都有这个性质呢？说不定是我们太笨了，没有找到合适的方法去构造呢~

让我们给平面戳个小洞吧：考虑U=R2∖{0}U=\mathbb R^2\setminus\{0\}. 这跟R2\mathbb R^2就只差了一点嘛（真 · 只差了一点）。显然它不是一个星形区域啦。那对于这个区域我们有没有类似的结果呢？

考虑(g1,g2)=(−x2x12+x22,x1x12+x22).(g_1,\,g_2)=\left(\frac {-x_2}{x_1^2+x_2^2},\,\frac {x_1}{x_1^2+x_2^2}\right). 简单的检验可以发现，条件∂1g2=∂2g1\partial_1 g_2=\partial_2 g_1对于每个UU中的点都是满足的。那我们还能找到中意的“爸爸”么？

如果这样的“爸爸”f∈C∞(U)f\in C^{\infty}(U)存在，那么我们就有

0=f(1,0)−f(1,0)=∫02πdfdθ(cos⁡θ,sin⁡θ)dθ.0=f(1,\,0)-f(1,\,0)=\int_{0}^{2\pi}\frac {df}{d\theta}(\cos \theta,\,\sin \theta)\, d\theta.

根据方向导数的定义，以及在圆周上(g1,g2)=(−sin⁡θ,cos⁡θ)(g_1,\,g_2)=(-\sin\theta,\,\cos \theta), 我们就发现

dfdθ(cos⁡θ,sin⁡θ)=−g1sin⁡θ+g2cos⁡θ=sin2⁡θ+cos2⁡θ=1\frac {df}{d\theta}(\cos \theta,\,\sin \theta)=-g_1\sin \theta+g_2\cos \theta=\sin^2 \theta+\cos^2\theta=1.

因此我们有

0=∫02π1=2π.0=\int_{0}^{2\pi}1=2\pi.

多么美妙的等式啊，虽然它显然不成立呢……

所以啊，在U=R2∖{0}U=\mathbb R^2\setminus\{0\}的时候，光滑函数g1,g2g_1,\,g_2即使满足了我们前面提到的条件

∂1g2=∂2g1\partial_1 g_2=\partial_2 g_1，它们俩个小蝌蚪依旧找不到“爸爸”（或者“妈妈”）的。【小蝌蚪找妈妈（笑）】同样的，如果我们考虑的是一个圆形去掉一个点，我们也会得到类似的结果。

由此看来，我们最开始提出的那个问题的解不仅仅是需要加条件，并且所加的条件也会依赖于区域UU的形状。（事实上这里我们需要的是区域UU的拓扑性。）因此我们接下来需要面临的一个问题就是：如何找到一个恰当的几何（拓扑）性质来描述我们前面提到的这个现象，从而去回答我们的问题。这就是我们这章接下来需要一起探究了东东啦~

　　Are you ready?

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事实上学过复分析的朋友可能已经注意到了，上面在区域U=R2∖{0}U=\mathbb R^2\setminus\{0\}举的例子实际上是函数θ=arg⁡(z)\theta=\arg(z)（即log⁡(z)\log(z)的虚部）的梯度。注意到想要良好地定义（复单值）对数函数，我们是需要考虑解析分支的。