把实对称矩阵对角化（实对称矩阵的对角化矩阵）

1.实对称矩阵的特征值一定是实数，更一般的Hermite矩阵的特征值一定是实数

2.考虑一个实特征值 \lambda 及其对应的单位特征向量 \alpha_1

3.将 \alpha_1 扩充为 n 维实内积空间的一组标准正交基 (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)

则有 A_n(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\begin{pmatrix} \lambda & * \\ 0 & A_{n-1} \end{pmatrix}

4.由于 A_n 是实对称矩阵，因此其对应的线性变换在任意一组基下的矩阵是实对称阵，右上角的 * 是 0

5.数学归纳法

显然对于Hermite矩阵同理证明

对于正规矩阵需要换一种方法说明 * 是 0，分块上三角的正规方阵一定是分块对角矩阵