本
文
摘
要
老黄这次要分享的是一个比较复杂的函数图像的画法，依然运用画函数图像的一般步骤。最近老黄比较多地分享了画函数图像的内容。不知道大家是否有感到一种审美疲劳了呢？战胜这种疲劳感，学习才会有更大的进步哦。
练习：按函数作图的一般步骤，作f(x)=x^(2/3)(x-2)^2的图像.
请自己动手画一画这个函数图像。
分析：这是一个根式函数和一个二次函数的积，这会导致函数的性状产生比较多的变化。
1、确定函数的定义域；
这个函数在R上都是有定义的。
2、考察函数的奇偶性、周期性；
这个函数既不存在奇偶性，也不存在周期性。
3、求函数的某些特殊点，如与两个坐标轴的交点，不连续点，不可导点等；
当f(x)=0时，x=0或x=2，因此，函数过原点，且与x轴有另一个交点(2,0).
4、确定函数的单调区间，极值点，凸性区间以及拐点；
求一阶导数f(x)=4(2x-1)(x-2)x^(-1/3)/3，可见f(x)在x=0不可导，x=1/2和x=2是函数的两个稳定点。
由f(x)的符号性质可知，当x<0或1/2<x<2时，函数单调减；当0<x<1/2或x>2时，函数单调增.
又由极值第一充分条件可知，函数有极大值点(1/2, 9倍三次根号2 /8)，有极小值点(0,0)和(2,0).
又当f"(x)=8(5x^2-5x-1)x^(-4/3) /9=0时, x1=1/2-3根号5 /10, x2=1/2+3根号5 /10.
由f"(x)的符号性质可知，函数x<x1或x>x2,下凸；当x1<x<x2时, 上凸.
记y1=f(x1)≈1.45, y2=f(x2)≈0.76, 可知，函数有拐点(x1,y1)和(x2,y2).
5、考察渐近线；
这个函数没有渐近线.
根据上面的信息，将函数图像的性状列表如下：
6、画出函数图象。
最后根据函数的性状，作出函数的图像如下：
这个图像对低智商的老黄来说，还是蛮复杂的。聪明的你怎么看呢？
