本
文
摘
要
作函数图像的一般步骤如下：
1、求函数的定义域；
2、考察函数的奇偶性、周期性；
3、求函数的某些特殊点，如与两个坐标轴的交点，不连续点，不可导点等；
4、确定函数的单调区间，极值点，凸性区间以及拐点；
5、考察渐近线；
6、画出函数图象。
下面以函数f(x)=三次根号(x^3-x^2-x+1)为例，讨论它的性质和形态，并作出它的图像。
分析：1、按一般步骤，第一步先判断它的定义域，显然，这个函数在全域R上都是有定义的。
2、考察f(x)的奇偶性和周期性，不难发现，这个函数既没有奇偶性，也不存在周期性。实际上，这样的函数的图像画起来更加麻烦。
3、接下来求函数的某些特殊点。为此，对根号内进行因式分解为：(x+1)(x-1)^2. 不难发现：
f与x轴有两个交点，分别是(-1,0)和(1,0). 而当x=0时，f(x)=1，所以f与y轴有一个交点(0,1). 可以先把这些交点标志在坐标系中。
又f在R上连续，且在这里可以提前发现，f在x=-1和x=1两个点上不可导。如果发现不了，下面求导之后也可以发现。
4、第四步是核心步骤，之所以把单调性、极值点、凸性区间以及拐点放在一起研究，是因为它们都与导数有关，甚至与二阶导数有关。
对函数求导，这个过程是略有些复杂的，结果得到f(x)=(3x+1)/(3倍三次根号(x+1)^2(x+1)).
由这个导数，可以发现，当x<-1/3或x>1时, f’(x)>0, 所以f单调增；当-1/3<x<1时, f’(x)<0, 所以f单调减；而x=-1/3是函数的一个稳定点。又由极值第一充分条件可以知道。(-1/3,2倍三次根号4 /3)是函数的极大值点，而(1,0)是极小值点。可以把这两个极值点先标在坐标系中。
又由f(x)的表达式可以看出，f在x=±1有竖直的切线.
继续求二阶导数f"(x)=-8/(9倍三次根号((x+1)^5(x-1)^4)，这个过程是真有够复杂的哦。不难发现，在(-∞,-1)上，f"(x)>0，所以f是下凸的,即凹的；在(-1,+∞)，f"(x)<0，所以f(x)是上凸的. (-1,0)就是f唯一的拐点。
5、现在来到画图像的准备工作的最后一步，就是求函数的渐近线。这个函数很明显是没有竖直渐近线的。设它有斜的渐近线y=ax+b, 那么a=lim(x->∞)(f(x)/x)=1. b=lim(x->∞)(f(x)-ax)=-1/3. 所以f有渐近线y=x-1/3. 求渐近线以及极限的知识你还记得吗？
在坐标平面上先画出这条渐近线，因为它是画原函数图像的一个基线。
上面分析的内容很多，如果你看起来有点乱的话，可以制作成如下的表格形式，帮助理解，有助于画函数的图像：
根据上表，结合函数的渐近线，就可以画出原函数的图像如下：
这个图像有没有出乎你的意料，像一个章鱼脑袋，有没有一种长得很丑的感觉呢？
