本
文
摘
要
作函数图像的一般步骤，是老黄学高数第210讲分享的内容。为了巩固这方面的知识，老黄已经举过不少例子了。这次这个例子，是一个偶函数的图像。画偶函数的图像，可以先做出一半图像，再根据偶函数图像关于y轴的对称性，作出另一半对称的图像。
练习：按函数作图的一般步骤，作f(x)=e^(-x^2)的图像.
分析：这个复合函数的外函数是以e为底的指数函数，内函数是开口向下的抛物线，差一点就可以利用复合函数的凸性法则来判断它的凸性了。它的外函数是单调递增的，而且是下凸的，而内函数却是上凸的，因为凸性不同，所以无法根据复合函数的凸性法则来判断它的凸性。这里顺便复习一下复合函数的凸性法则，你还记得吗？好了，言归正传，请先自己动手画一画这个图像。
1、确定函数的定义域；
这个函数在R上都有定义。
2、考察函数的奇偶性、周期性；
这是一个偶函数。注意，内函数是x方的复合函数，只要定义区间关于y轴对称，就是偶函数。它并没有周期性。
3、求函数的某些特殊点，如与两个坐标轴的交点，不连续点，不可导点等；
这个函数与x轴没有交点，因为它恒大于0。但与y轴有交点，纵坐标等于1，即曲线过点(1,0). 函数不存在间断点和不可导点。
4、确定函数的单调区间，极值点，凸性区间以及拐点；
当一阶导数f(x)=-2xe^(-x^2)=0时，求得函数唯一的稳定点x=0.
由一阶导数的符号性质可知，函数在负区间单调增，在正区间单调减。又由极值的第一充分条件可知，x=0是函数的极大值点，极大值等于1.
继续求二阶导数f"(x)=2(2x^2-1)e^(-x^2)，由二阶导数的符号性质决定了，函数在x小于负二分之根号2或大于二分之根号2时，下凸；而在负二分之根号2和二分之根号2之间的区间上，上凸. 函数有两个拐点。分别是(-根号2/2, e^(-1/2))和(根号2/2, e^(-1/2)).
5、考察渐近线；
设函数有渐近线y=ax+b，由渐近线参数的极限公式可以求得, a=lim(x->∞)(f(x)/x)=0, b=lim(x->∞)(f(x)-ax)=0, 所以x轴是函数水平的渐近线。
根据这些信息，归纳函数在非正区间的形态如表。
函数在非正区间上有两个关键点，一个是拐点x=负二分之根号2，一个是极大值点x=0. 两个关键点将函数在非正区间分成两个区间，左边区间的曲线单调递且下凸，右边区间的曲线单调增且上凸。作出函数在非正区间的图象，再利用函数的偶函数性质，就可以做出关于y轴对称的另一半图像了。函数的图像如图：
这个图像和你所画的图像，有没有什么不同呢？
