本
文
摘
要
作函数图像的一般步骤：
1、求函数的定义域；2、考察函数的奇偶性、周期性；3、求函数的某些特殊点，如与两个坐标轴的交点，不连续点，不可导点等；4、确定函数的单调区间，极值点，凸性区间以及拐点；5、考察渐近线；6、画出函数图象。
由于老黄最近都在探究作函数图像方面的内容，所以最近的作品开头都是一模一样的，都是复习作函数图像的一般步骤，因为这个一般步骤，也是正文的依据。
这次要作图像的是分式函数f(x)=x^3/(2(1+x)^2).
按函数作图的一般步骤，作f(x)=x^3/(2(1+x)^2)的图像.
分析：函数在x=-1没有定义，所以函数的定义域是x≠-1，或(-∞,-1)U(-1,+∞)，两种表达形式都是允许的。另外，这个函数既没有奇偶性，也没有周期性。不过函数过原点，这一点倒是很容易发现的。
求导可得f(x)=x^2(3+x)/(2(1+x)^3)=0时，函数有两个稳定点x=0和x=-3. 又f(x)的符号性质由(3+x)与(1+x)的商决定，所以，在(-∞,-3)U(-1,+∞)，f(x)>0，函数单调增；在(-3,-1)，f(x)<0，函数单调减。
由极值第一充分条件可以知道，x=-3是函数的极大值点，极大值f(-3)=-27/8. 但x=-1不是函数的极值点，因为函数在x=-1没有定义。
继续求二阶导数，可得f"(x)=6x/(2(1+x)^4)，可见，当x<0时，f"(x)<0，曲线上凸；当x>0时，f"(x)>0，曲线下凸(凹)。且f在x=0连续，所以f有拐点(0,0).
不要以为不是极值点的驻点就是拐点，错误地以为不需要求二阶导数，只需要由这个命题，就能确定(0,0)是拐点。首先，不是极值点的驻点未必就是拐点；其次，求二阶导数既可以确定函数的凸性区间，也可以检验函数是否还有其它拐点。
最后讨论渐近线的问题。令最简分式函数的分母等于0的点，x=-1，就形成曲线的一条竖直的渐近线。注意，这个定理一般只在最简分式函数才有效。如果分子出现其它函数，比如三角函数，自然对数函数等，x=-1有可能使分子也等于0，又不能把两个0约掉，就要求趋于-1时，函数的极限了。只有极限是无穷大时，x=-1才是函数的竖直渐近线。
设曲线还有斜的渐近线y=ax+b，则
a=lim(x->∞)(f(x)/x)=lim(x->∞)(x^2/(2(1+x)^2))=1/2.
b=lim(x->∞)(f(x)-ax)=lim(x->∞)((-2x^2-x)/(2(1+x)^2)=-1.
所以曲线有渐近线y=x/2-1.
归纳函数图像的性态如表：
作得函数的图像如图：
图像画得并不是十分准确，因为手动画出准确图像其实是十分麻烦的。大家也不妨动手画一画，那样对利用函数性态画函数图像的能力提升，会有很大的帮助哦。
