本
文
摘
要
§ 1—3 反证法
反证法是一种间接证明方法。当有的命题采用直接证明很难证出或者比较繁琐时，可改为证明原命题的反命题不成立（命题“若A则B"的反命题是“若A则非B”）或证明与原命题等价（或称等效）的逆否命题。
反证法是先提岀与结论相反的假设，把此假设作为新的已知条件，然后推出与公理、定义、定理、题设、假设或推导自身相矛盾，这就证明了与原结论相反的结论不能成立，从而肯定了原结论必然成立。
反证法又分归谬法和穷举法两种：
当命题结论的反面只有一种情况时，只需推翻这种情况就能证明结论正确，叫做归谬法。
当命题结论的反面不止一种情况时，则需——推翻，才能 证明结论的正确，叫做穷举法。
用反证法证题的步骤如下：
1、反设—假定结论的反面成立；
2、矛盾——推理推出矛盾结果；
3、结论一一判断结论的反面错误，断定结论正确.
哪种类型适宜用反证法：
1、起始性命题。基本定理或某一系统的初始阶段已知条件较少，结论的反面多于已知条件。
2、否定性命题。结论中有“不是"、“不能"、“没有"、“不可约”等词语，其反面往往更具体。
3、唯一性命题。命题的结论以“至少"、“至多"、“唯一” 等形式出现。
4、必然性问题。结论中有“必然”、“一定”、“必”、“总”等特征。
5、用直接证明方式较繁琐或有困难时。
能够适宜用反证法的大概有10种情况，以下就不一一例举。
以下举例说明怎样用反证法证题。
例1、在平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
已知：直线a,b,c在同一平面内,a//b,c//b.
求证：a//c.
证明：假设直线a,c不平行，即相交，设交点为P，则在同一平面内，由a//b，c//b得到过P点有两条直线a和c都与直线b平行，这与平行公理“经过直线外一点有且只有一条直线和已知
直线平行"相矛盾，这说明前面假设的直线a，c相交是错误的，即a,c不平行是错误的，因此直线a//c。
例2、求证：一个三角形中至少有一个内角大于或等于60°。
已知:▲ABC.
求证:∠A、∠B、∠C中至少有一个≥60°。
证明：假设∠A、∠B、∠C都不大于或等于60°,即都小于60°,
即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°，则三个角相加为：
∠A + ∠B + ∠C<180°，这与定理“三角形的三内角之和
等于180°”相矛盾。所以，三角形的三个角都不大于或等于60°的假设是错误的，故一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°。
例3、证明：在同一平面内，同一条直线的垂线和斜线必然相交。
已知：在同一平面内，直线a⊥l,直线b是l的斜线。
求证a与b必相交。
证明：假设a与b不相交，由于a,b在同一平面内，
∴ a//b，
∴ ∠1=∠2，
∵a⊥l，
∴∠2 = 90°，
∴∠1 = 90°,
∴ b⊥l ，
这与已知的b是l的斜线相矛盾。
这一矛盾说明我们假设的a和b不相交是错误的，所以原命题成立，即a与b必相交。
