本
文
摘
要
高中数学物理方法11：反证法
这一节其实只能说是一种数学上常用的思想，叫做反证法。
实事上，我也不用过多强调这种方法，因为小伙伴们已经在不知不觉中使用了，
这或许就是学习带给我们思维方式的改变吧，思维方式会影响一个人一辈子，
所以，我们要学习要思考，虽然不知道对我的人生会产生怎么样的影响，但我希望我看世界的角度可以多一些，这也是一种乐趣。
先举例说明一下，比如有这样的一个问题，
例1：如下图，在竖直平面内，一小球（可视为质点）用一根长为 LL 的细绳系于O点，在O点正下方 L2\frac{L}{2} 处有一钉子A，现将小球拉至初始位置，使得细绳拉直且成水平方向，然后静止释放，问小球能否到达O点。
解：这题很简单，即使我不讲，很多小伙伴应该都是运用反证法做的，
第一步假设，假设小球能运动到O点，
第二步推导，根据动能定理或者机械能守恒，小球运动到O点时的速度为 0m/s0m/s ，
第三步发现矛盾，根据竖直圆周运动的规律，小球在最高点O点的速度最小为 gL2\sqrt{\frac{gL}{2}} ，所以与速度 0m/s0m/s 矛盾了。
所以，小球不能到达O点，只能到达O点下方的某个位置了。
为了严谨起见，还要说明一下小球不能到达O点上方的某个位置，因为细绳不够长，哈哈！
当然，我们在实际思考这个问题时，不需要这么严谨地罗列出三步，事实上是一步到位，瞬间就想明白的。
但这确确实实是反证法，我在本文特意强调这种方法，并且把这种方法的步骤详细罗列出来，就是希望小伙伴们记住有这样一种方法，或许可以在解某些物理题时有用，
我们通过做题总结方法，再把方法用于做题，这样不断进步提高。
在物理史中，也有运用反证法的经典例子，
比如伽利略反驳“重物下落比轻物快”的理想实验，当然我们更多的是记住了理想实验，佩服伽利略通过“想象”就反驳了一个错误观点，但仔细想想，这里面是不是也用了反证法！
假设：重物比轻物下降的快，
推导并发现矛盾：假象一个重物绑上一个轻物一起下落，绑在一起后应该更重了，所以应该下落更快了；但是换一个角度，绑在一起后轻物会拖重物的后腿，所以下落得应该比原重物慢，出现矛盾 了！
说明假设是错误的。假设错误，并不一定是说“重物下落比轻物慢”，因为还可以“重物和轻物下落一样快”。
于是，可以用同样的方法反驳“重物下落比轻物慢”，
然后只能得到，“重物和轻物下落一样快”。
那么反证法有什么好处呢，从上面的例子我们可以看出，反证法的第一步假设，相当于把要求解的问题变成了一个已知条件，多了一个条件，导致第二步的推导就会容易很多，也会更加容易得到结论（当然是矛盾的结论）。
当然，运用反证法还需要注意的是，最后一定要能发现矛盾，也就说推出假设不成立，不能到最后没有发现矛盾，说明假设成立，这样是不可以的哈，切记切记。
比如，我文章“袁野：（高考-湖南-2021-06）讲一讲变压器电路分析的等效电阻法和换元法”中举过一个例子，
例2：如下图，一理想变压器电路，当 RxR_x 变大时，原电路与副电路的电压、电流等相关物理量的变化情况！
解：这题经典做法是“等效电阻”法，但有些小伙伴没有听说过，这样就有点无从下手了，
无从下手了，反证法的机会就来了。
注：→\rightarrow表示不变，↑\uparrow表示变大，↓\downarrow表示变小。
已知：（0）RxR_x ↑\uparrow，
假设：（1） I2I_2 ↓\downarrow ，这样就相当于多了个条件，于是有了着力点，就能够继续推导了，
推导：（2） I1=n2n1I2I_1=\frac{n_2}{n_1}I_2 ↓\downarrow ,
(3) UR=I1RU_R=I_1R ↓\downarrow ，
(4) U1=U−URU_1=U-U_R ( UU →\rightarrow ， URU_R ↓\downarrow )， U1U_1 ↑\uparrow ，
(5) U2=n2n1U1U_2=\frac{n_2}{n_1}U_1 ↑\uparrow ，
对比(0)(1)(5)，RxR_x↑\uparrow，I2I_2 ↓\downarrow ， U2U_2↑\uparrow ，且要满足 U2=I2RxU_2=I_2R_x，好像可行，没有发现矛盾，所以说明不了任何问题。
必须要发现矛盾才行，所以要重来，重新假设，
已知：（0）RxR_x ↑\uparrow，
假设： （1）I2I_2 ↑\uparrow ，
推导：(2) I1=n2n1I2I_1=\frac{n_2}{n_1}I_2 ↑\uparrow ,
(3) UR=I1RU_R=I_1R ↑\uparrow ，
(4) U1=U−URU_1=U-U_R ( UU →\rightarrow ， URU_R ↑\uparrow )， U1U_1 ↓\downarrow ，
(5) U2=n2n1U1U_2=\frac{n_2}{n_1}U_1 ↓\downarrow ，
发现矛盾：对比(0)(1)(5)，RxR_x↑\uparrow，I2I_2 ↑\uparrow ， U2U_2↓\downarrow ，则显然与 U2=I2RxU_2=I_2R_x相互矛盾了，
故假设错误，因此， I2↑I_2\uparrow 是不对的，也就说 I2→I_2\rightarrow 或者 I2↓I_2\downarrow ，
小伙伴们自己尝试一下用反证法证明，I2I_2→\rightarrow 也是不可能的。
从而得到，I2I_2↓\downarrow 。
其他物理量的变化小伙伴们就可以自己推导了，上面已经根据已经 I2↓I_2\downarrow 推导过一遍了。
关于等效电阻法相关的问题，在文章“袁野：（高考-湖南-2021-06）讲一讲变压器电路分析的等效电阻法和换元法”和“袁野：专题荟萃：变压器除了等效电阻外，还可以怎么等效”中有介绍，感兴趣的小伙伴们可以自己再去看一看。
上面说了这么多，总结一下本文的要点，
1.反证法是个好方法，我们都知道，但是用的不多，有时候我们自己用了反证法都不知道，所以我要专门强调下。
2.反证法是个好方法，因为通过假设多增加了一个已知条件，让我多了思考的路径，特别是在毫无思路的情况下。
3.反证法是个好方法，但是最终要推导得到矛盾，只能说明假设不成立。
当然，更通俗的理解反证法，就相当于“做选择题时，把答案带进去是不对的，然后排除该答案”的方法。
好了，然后我们再举一些例子，强行使用反证法做题，希望小伙伴们自己平常学习之余也能尝试这样的思维习惯，变换着思路来求解同一道题。
例3：如下电路图，电源电动势为 EE ，内阻为 rr ，定值电阻为 RR ，当可变电阻 RxR_x 变大时，问电流表的示数是变大还是变小。
解：这道题可以用“串反并同”秒解，但是我们现在用反证法来做。
假设：电流表的示数变小，
推导：电流表的示数 IAI_A 变小，根据 外U外=IA⋅RU_外=I_A\cdot R ，得到路端电压变小，
则 总外I总⋅r=E−U外I_总\cdot r=E-U_外，则流过电源的总电流 总I总I_总 变大。
发现矛盾：电路中任意电阻变大，电路总电流减小，存在矛盾。
所以，电流表的示数不会变小。
小伙伴们再自己用反证法证明一下“电流表的示数不变”也是不对的，
所以得到，电流表的示数变大。
关于串反并同的知识点介绍及其运用，见文章“袁野：用“串反并同”和“等效电源”秒解电压、电流、功率怎么变的问题”和“袁野：那些被“玩坏”的高考知识点：串反并同”中的介绍。
例4：如图，玻璃管下端开口插入水银槽中，上端封闭有一定质量的气体，玻璃管中水银柱长（最高液面至槽中液面）为 hh ，空气柱长 ll ，现将玻璃管向上提起一小段距离（下端仍保持插入水银槽中，水银槽液面基本不变），此时，玻璃管中水银柱长（最高液面至槽中液面）为 h′h ，空气柱长 l′l’ ，试比较前后水银柱长和空气柱长的大小关系。
解：这是关于热学系列的知识点，因为浙江不考，所以我几乎不怎么讲的，
主要的方法有两点，一是受力分析，一般为受力平衡分析，二是气体的状态方程。
在该问题中，首先，我们根据受力平衡得到，
p+ρgh=p0 p+\rho gh=p_0 ，其中 pp 为空气柱压强， p0p_0 为大气压强， ρ\rho 为水银密度，
假设：
对于空气柱长度变化，一样操作即可，
假设：
发现矛盾：显然， p_0">p′+ρgh′>p0 p+\rho gh> p_0 是不对的，
所以，
即，水银柱长和空气柱长均变大。
好了，讲完啦！
小伙伴们，咱们下期再见啦！
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