化最简二次根式的方法（常用的二次根式化简）

正整数的素因子分解定理

即对于任何一个正整数 n ,都可以分解为有限个素数的乘积的形式，严格写下来是

\forall n\in\mathbb{N}_+,\exists k\in\mathbb{N}_+,使得存在互不相同的素数 p_1,p_2,\cdots,p_k 以及 k 个正整数 r_1,r_2,\cdots,r_k使得 n=p_1^{r_1}p_2^{r_2}\cdots p_k^{r_k}.

在进行二次根式化简的时候，我们其实是把每一个 r_i 写成 r_i=2q_i+m_i,q_i\in\mathbb{N},m_i\in\{0,1\},i=1,2,\cdots,k 的形式(也就是做关于2的带余除法)，那么

n=p_1^{2q_1+m_1}p_2^{2q_2+m_2}\cdots p_k^{2q_k+m_k}.

然后就可以做二次根式的化简运算了，即

\sqrt{n}=p_1^{q_1}p_2^{q_2}\cdots p_k^{q_k}\sqrt{p_1^{m_1}p_2^{m_2}\cdots p_k^{m_k}}

这里面的 \sqrt{p_1^{m_1}p_2^{m_2}\cdots p_k^{m_k}} 已经是不可以继续分解的形式了

举个例子

化简 \sqrt{72}

\underline{\rm{Solution:}}根据上面的定理，我们发现

72=36\times 2=6\times 6\times 2=2^3\times3^2

进一步写成 72=2^3\times 3^2=2^{2\times 1+1}\times 3^{2\times1+0}

从而 \sqrt{72}=2^1\times3^1\sqrt{2^1\times3^0}=6\sqrt{2}

说了这么多，希望题主能够明白，化简二次根式需要进行素因子分解，但这只是一个通法，我们在实际化简的过程中先尝试分解出一些平方数因子，例如4，9，16等。