本
文
摘
要
0. 写在开头
更多数学问题私信小秦为你解决。
本篇文章介绍函数单调性的几种基本证明方法的深度提高，作差法，作商法，斜率式 \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} ，放缩法，导数法。每一种方法层层递进，挖掘思维本质，拓宽思路。例如在介绍作差法时，由最基础的两数作差与0比较，挖掘方法思维本质，提出采用因式分解变换式子，乘以某个因子变换式子，最终推向一般的变换方式，即利用函数思想将 f(x_1)-f(x_2) 变换，寻找的变换法则对于 (-\infty, 0),(0,+\infty) 映射后得到的值是交集为空的两区间，如 (-\infty,a),(a,+\infty) 。
关键词 证单调性 变换
1. 作差法
在《如何理解函数单调性》[1]中，相信读者已经理解了函数单调性的概念，并初步认识到使用作差法证明函数单调性。这里，进一步指出，在单调性证明的过程中，实际我们更多地在于关心 f(x_1),f(x_2) 之间的相对大小，也就是比较两数大小，而比较两数大小最基本的方式就是作差法。
如果采用作差法，那么我们后续实质上就是要关注 f(x_1)-f(x_2) 这个式子的整体是正号，还是负号。认识到这一点，那么作差法比较两数的思路便不难开拓了。当然，还是提醒大家，最终确定单调性，还需结合原先设定的 x_1,x_2 之间的相对大小，这一点详细内容，已经在《如何理解函数单调性》[1]中解释了。
例如《如何理解函数单调性》[1]中提到的因式分解，如果f(x_1)-f(x_2) 这个式子可以进行因式分解，就将式子分解成多个整式乘积的形式，分解直到能够证明每个整式的符号为止。我们采用例1演示说明
例1.1 证明函数 y=x^4 的单调性
证明
记 f(x)=x^4,x\in R
取 \forall x_1,x_2\in R且x_1\lt x_2
那么 f(x_1)-f(x_2)=x_1^4-x_2^4=(x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2)
因为已经证明 y=x^2 在 0">x>0 上单调递增，
当 x_1\lt x_2 \lt 0 时， x_1^2\gt x_2^2\gt 0 ，即 x_1^2-x_2^2\gt 0,x_1^2+x_2^2\gt 0 （备注：类似前面，看每个整式的符号）
那么 f(x_1)-f(x_2)\gt 0 ，即 f(x_1)\gt f(x_2)
所以， f(x) 在 x\lt 0 上单调递减
综上， f(x) 在 (0,+\infty) 上单调递增，在 (-\infty,0) 上单调递减。
备注：读者也可进一步因式分解成 (x_1^2+x_2^2)(x_1+x_2)(x_1-x_2)
现在，读者一定深深体会到，利用作差证明函数单调性，对于 f(x_1),f(x_2) 具体值是多少，我们是不关心的，对于 f(x_1)-f(x_2) 具体的差值是多少，也是不怎么关注的，更多地关注 f(x_1)-f(x_2) 的符号到底是＋还是 - 。
进一步地，思路就更广阔了，认识到如果能够确定 f(x_1)-f(x_2) 的符号，那么我们进行的任何变换都可以。非常容易想到的，就是让这个式子，乘以某个能够确定式子的符号，得到的乘积也能够确定符号，那么结合初中数学的运算，不难明白原先的式子 f(x_1)-f(x_2) 的符号肯定能够确定。就是说，令式子 A 与式子 f(x_1)-f(x_2) 作乘运算，得到 A(f(x_1)-f(x_2)) ，只要确定 A 的符号，以及 A(f(x_1)-f(x_2)) 的符号，当然可以确定 f(x_1)-f(x_2) 的符号。具体例题可以参考《如何理解函数单调性》[1]的例题1。
更加推广的来说，如果有对应法则 g ，定义域中的数在其作用后得到的结果，不改变原有的符号，那么我们可以有通过操作 g(f(x_1)-f(x_2)) ，变换 f(x_1)-f(x_2) ，与0进行比较。
或者，g 有这样的特点，原先定义域的数 x 的符号是正的，在 g 作用后得到的 g(x) 是负的，原先的 x 是负的，在 g 作用后得到的 g(x) 是正的。
这样的函数 g 可以有很多，其中非常简单的一种就是奇函数。关于奇函数的构造可以参考后续文章《常见的奇奇偶函数》[2]。
例题1.2 证明函数 \ln x 的单调性
证明
记 f(x)=\ln x,x\in (0,+\infty)
构造函数 g(x)=e^x-e^{-x}
易证 g(x) 为奇函数，且 0">x>0 时 0">g(x)>0 ，
于是 \frac{f(x_1)}{f(x_2)}=\frac{\sqrt{x_1}}{\sqrt{x_2}}=\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}
现有函数 g(x)=x^2 在 (0,+\infty) 上单调递增，且有 g(1)=1
所以当
如果大于0，说明分子分母同号，于是函数 f 单调递增，如果小于0，说明分子分母异号，于是函数 f 单调递减。
构造这样的式子，也解决了前面作商法的局限，一个是分母不能为0，这个是肯定的，因为取得的 x_1,x_2 必然不同；另一方面利用分式的正负号判断函数单调性，而非分子分母的相对大小，从而不必排除异号情况；还要特别指出，因为我们把 x_1,x_2 的相对大小的比较已经在这个式子中有所体现了，所以在将两个自变量从定义域中取出时，可以不用设定两数的相对大小。这个方法为解答者减少证明函数单调性的许多前期工作。
例题3.1 证明函数 y=\sqrt{x} 的单调性
证明
记 f(x)=\sqrt{x},x\in (0,+\infty)
\forall x_1,x_2\in (0,+\infty)
\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}}{x_1-x_2}\\ =\frac{\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}}{(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})} =\frac{1}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}\gt 0
所以，函数 f(x) 在 (0,+\infty) 上单调递增。当然，我们还会使用常用的恒等变换，若 a=b 则0=a-b，常用处理方式无非是加上这个数的同时减去这个数实现式子的恒等变换。还有若 a=b\neq 0 则 \frac{a}{b}=\frac{b}{a}=1
例题3.2[3] 证明函数 y=\sqrt{k+x}-\sqrt{x} 的单调性
证明
记 f(x)=\sqrt{k+x}-\sqrt{x},x\in D
取 \forall x_1,x_2\in D
\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{(\sqrt{x_1+k}-\sqrt{x_1}) - (\sqrt{x_2+k}-\sqrt{x_2})}{x_1-x_2}\\ =\frac{\sqrt{x_1+k}-\sqrt{x_2+k}}{(k+x_1)-(k+x_2)}-\frac{\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}}{x_1-x_2}\\ =\frac{1}{\sqrt{k+x_1}+\sqrt{k+x_2}}-\frac{1}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}
由例题3.1已证 y=\sqrt{x} 是单调递增的。
当0">k>0 时，函数的定义域为 (0,+\infty) ，有 x+k\gt x ，则有 \sqrt{x+k}\gt \sqrt{x} ，由不等式性质不难得出
\\ \frac{1}{\sqrt{k+x_1}+\sqrt{k+x_2}}-\frac{1}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}\lt 0
此时函数 f(x) 在 (0,+\infty) 上单调递减。
当 k\lt 0 时，函数的定义域为 (-k,+\infty) ，有 x+k\lt x ，则有 \sqrt{x+k}\lt \sqrt{x} ，由不等式性质不难得出
\\ \frac{1}{\sqrt{k+x_1}+\sqrt{k+x_2}}-\frac{1}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}\gt 0
此时函数 f(x) 在 (-k,+\infty) 上单调递增。
4. 放缩法
这里我们关注放缩在证明函数单调性中的应用，如果读者希望明白放缩的原理是什么，以及常见的放缩方式，可以参考后续作品《细解放缩》[4]，《放缩的常见的方式》[5]。
由前面的文章《如何理解函数单调性》，就已经认识到函数的单调性具有局限性。于是，我们不妨设想，将函数的定义域切分成若干个区间，讨论每个区间的单调性，从而求证函数的单调性。
回顾利用作差法求证函数单调性，不难看出， 0">f(x_1)-f(x_2)>0 或 f(x_1)- f(x_2)\lt 0 可以看成是一个关于 x_1,x_2 的二元不等式，但二元不等式显然要比一元不等式难解一些，此时会有这样的想法，如果有某种方式能够将二元不等式变换成一元不等式，那么解一元不等式则是一件比较轻松的事情了。
以取函数单调递增区间为例，设 f(x) 是定义在 D 上的函数，取 \forall x_1,x_2\in D且x_1\lt x_2 。如果要取函数单调递增区间，那么不难明白需要有 f(x_1)-f(x_2)\lt 0 。但这是一个二元不等式，现在如果能够找到函数 g(x) 使得 f(x_1)-f(x_2)\lt g(x) 在 x\in D 上恒成立，那么后续如果能够证明 g(x)\lt 0 ，那么由不等式的传递性不难得知， f(x_1)-f(x_2) 是成立。但需要注意的是， g(x)\lt 0 这个不等式的解集，例如我们记为 E ，如果 D\subseteq E 那么函数 f 在其定义域上是单调递增，但如果 E\subseteq D ，则显然我们只是求证了函数 f 在其定义域的某部分上的单调性，这部分是 E ，而 D 削去 E 剩下的区间，函数的单调性仍旧不确定，这部分我们还是需要根据要求进一步求证的。另外，更一般来说，如果 f(x_1)- f(x_2)\lt g(x) 在 x\in F \subseteq D 成立的，那么最终求证的单调区间是取 E\cap F
最简单的放缩情景，无非就是依据现有以设定的 x_1\lt x_2 这一关系进行放缩，将 f(x_1)-f(x_2) 放缩成只关于 x_1 或 x_2 的一元不等式。
对于作商法，斜率式也是类似讨论的。
例题4.1 证明 y=x^2-2x 的单调性
证明
记 f(x)=x^2-2x
取 \forall x_1,x_2\in R,且x_1\lt x_2
\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{x_1^2-2x_1-(x_2^2-2x_2)}{x_1-x_2} =x_1+x_2-2
结合 x_1\lt x_2 ，不难得出 x_1+x_2-2\lt 2x_2-2
令 2x_2-2\lt 0 ，得 x_2\lt 1
由此可知，当 x_1\lt x_2\lt 1 时， \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\lt 0 ， f(x) 单调递减
再次结合 x_1\gt x_2 ，不难得出 x_1+x_2-2\gt 2x_1-2
令 2x_1-2\gt 0 ，得 x_1\gt 1
由此可知，当 1\lt x_1\lt x_2 时， \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\gt 0 ， f(x) 单调递增
（备注：以上我们已经把函数的整个定义域都讨论了）
综上，函数在 (1,+\infty) 上单调递增，在 (-\infty, 1) 上单调递减
5. 导数法
关于导数法的基础认识，以及常见的函数导数方式将在后续作品《关于导数的基础认识》[6]中详细介绍，这里并不赘述，而是介绍导数在证明函数单调性过程中的一些想法和思维。
导数实际上是前面介绍的斜率式 \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} 的极限，所以对函数进行求导后得到其导函数 f(x) ，要用它来判断原函数的单调性，自然是要让 f(x) 与0进行比较的。也就是说，我们如下描述的想法。
设 f(x) 是定义在 D 的函数， f(x) 是其导函数， *** I\subseteq D 。如果 \forall x\in I 有 f(x)\lt 0 ，那么 f(x) 在 I 上单调递减；如果 f(x)\gt 0 ，那么 f(x) 在 I 上单调递增。
通俗地来讲，我们需要求出导函数 f(x) 在定义域 D 的哪些区域上是小于0的，从而确定原函数 f(x) 在定义域 D 的哪些区域上是单调递减的。这句话“我们需要求出导函数 f(x) 在定义域 D 的哪些区域上是小于0的”再说明白一点，也就是说解释这句话的含义，我们需要找出定义域 D 上的哪些数，在导函数 f 作用后得到的结果是小于0的。读者自行类似理解利用导函数求函数单调递增的区域。
导数法和斜率式非常相似，但导数法要求函数是连续可导的，当然，对于连续可导这一点高中阶段只需要知道是一条没有尖点的连续不断曲线。而斜率式呢，则要求没那么苛刻，但导数法因此苛刻条件具备了非常突出的优点，就是求导后是一个一元函数。关于一元函数的处理则是我们当前阶段非常熟悉的，讨论一元函数与0相比较的问题也是常见的基础问题。至此，我们实际已经介绍了利用导函数求证原函数单调性的框架思路。
图2 证明函数单调性的过程关于一元函数与0相比较的讨论，详细内容可以参考文章《单调性的应用》[7]。需要指出的是，为了确定导函数 f(x) 的单调性，我们可以对导函数再次求导得到 f(x) ，但它确定的是 f(x) 的单调性，而不是 f(x) 的单调性，如有必要，可以一直求导下去，只要你得到的导函数是初等函数的组合，就高中阶段来说。
另外，还需要注意，图2所示的过程，只是展示了求一元函数与0比较的简单情景，更多过程建议参考文章《单调性的应用》中的相关介绍。
例题5.1 证明函数 y=\sqrt{x} 的单调性
证明
记 f(x)=\sqrt{x},x\in [0,+\infty)
那么 f(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}
易知 \sqrt{x}\gt 0
所以 f(x)\gt 0 在 [0,+\infty) 恒成立
所以 y=\sqrt{x} 在 [0,+\infty) 上单调递增。
例题5.2 证明 y=x^2-2x 的单调性
证明
令 f(x)=x^2-2x
那么 f(x)=2x-2
令 f(x)=0 得 x_0=1
又 f(x)=2\gt 0 ，所以 f(x) 单调递增
那么，当 x\lt x_0=1 时， f(x)\lt 0 ， f(x) 单调递减
当 x\gt x_0=1 时， f(x)\gt 0 ， f(x) 单调递增
综上， f(x) 在 (1,+\infty) 上单调递增，在 (-\infty, 1) 上单调递减
例题5.3 求 y=x^3-13x^2+14x 的单调性
解
记 f(x)=x^3-8x^2+3x
那么 f(x)=3x^2-8x+3=(3x+1)(x-3)
令 f(x)=0 得 x_1=-\frac{1}{3},x_2=3
（备注：结合二次函数其实已经可以完成了，但这里让读者感受一下导数并不一定导一次或者两次，只要可导且有必要那么就一直导下去）
又 f(x)=6x-8 ，令 f(x)=0 得 x_0=\frac{3}{4}
又 f(x)=6\gt 0 ，则 f(x) 单调递增 （备注： f(x) 判断的是 f(x) 的单调性）
所以当 x\lt x_0=\frac{3}{4} 时， f(x)\lt 0,f(x) 单调递减
当 x\gt x_0=\frac{3}{4} 时， f(x)\gt 0,f(x) 单调递增
于是，当 x\lt x_1 时， f(x)\gt f(x_1)=0 ， f(x) 单调递增
当 x_1\lt x\lt \frac{3}{4} 时， 0=f(x_1)\gt f(x) ， f(x) 单调递减
当 \frac{3}{4}\lt x\lt x_2 时， f(x)\lt f(x_2)=0 ， f(x) 单调递减
当 x\gt x_2 时， f(x)\gt f(x_2)=0 ， f(x) 单调递增
由f(x)的单调区间可知 x_0=\frac{3}{4} 是 f(x) 在 (x_1,\frac{3}{4}) 的最小值，也是 f(x) 在 (\frac{3}{4},x_2) 的最大值
所以 f(x) 在 (x_1,x_2) 上是单调递减的
综上， f(x) 在 (-\infty,-\frac{1}{3}),(3,+\infty) 上单调递增，在 (-\frac{1}{3},3) 上单调递减。
例题5.4 求函数 f(x)=\ln x+e^x 的单调性
解
f(x)=\ln x+e^x,x\in (0,+\infty)
那么 f(x)=\frac{1}{x}+e^x\gt e^x
易证 y=e^x 在 (0,+\infty) 上单调递增，所以 0">e^x\gt e^0=1>0
所以 f(x)\gt 0 在 (0,+\infty) 上恒成立
所以 f(x) 在 (0,+\infty) 上单调递增
由以上例题，读者应当能够感受到，实际上利用导数求证函数单调性，就是比较 f(x) 与0的相对大小从而确定原函数的单调区间。于是，只要处理实际就落在了 f(x) 上，我们可以对它进行因式分解(如果可以的话)，也可以乘以某个因子或因式，也可以对这个式子进行某种变换，就像作差法时介绍的那样，进行各种各样的处理，最终的目的就在于确定 f(x) 与0的相对大小，从而确定 f(x) 的单调区间。当然确定 f(x) 的单调性实际一定是要有的，不管零点是否可求还是恒成立，因为我们要确定的是一个区间，而不是某一个值。也就是需要借助单调性，以当前值为基础（例如例题5.2的 x_0 ），比较定义域上的其它数在 f 作用后的结果是否也小于0或大于0。只是有些特别明显就能看出在某个区间 f(x) 与0的相对大小的，我们就省略了求证 f(x) 单调性的过程，例如例题5.1。
6. 其他方法
在《单调性的基础结论》[8]一文中，详细介绍了初等函数的单调性，并结合函数运算对函数单调性进行判断。
这里只是为了“证明函数单调性的方法”这一话题的完整性，提出根据某个函数各自的特点，结合函数图像简略地判断函数单调性。
