二元一次方程组的常用解法（二元一次方程组的五种解法）

对于二元一次方程组的解法，我们用的方法是消元思想。也就是把两个未知数转换为一个未知数，这也是我们初中数学中重要的思想。

知识点

将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.

代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种基本解法，它们都是通过消元将方程组转化为一元一次方程，再求解.

代入消元法

1. 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.

2. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤:

① 从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如 y y ，用另一个未知数如 x x 的代数式表示出来，即写成 y=mx+n y = mx+n 的形式；

② 代入消元：把 y=mx+n y = mx+n 代入另一个方程中，消去 y y ，得到一个关于 x x 的一元一次方程；

③ 解这个一元一次方程，求出 xx 的值；

④ 回代求解: 把求得的 xx 的值代入 y=mx+n y = mx+n 中求出 y y 的值，从而得出方程组的解.

⑤ 把这个方程组的解 写成 {x=ay=b\begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} x = a\\ y = b \\ \end{array} \right. \end{equation} 的形式.

例: 解方程组 ①②{x−y=2①2x+3y=9②\begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} x−y = 2\qquad\qquad\ \ \ ① \ \\ 2x+3y = 9\qquad\ \ \ \ \ \ ② \\ \end{array} \right. \end{equation}

解: 由 ① 得 y=x−2y = x−2 ③

把 ③ 代入 ② 得 2x+3(x−2)=92x+3(x−2) = 9

解得 x=3 x = 3

把 x=3 x = 3 代入 ③ 得 y=1y = 1

所以方程组的解是 {x=3y=1\begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} x = 3\\ y = 1 \\ \end{array} \right. \end{equation}

总结：在使用代入消元法时，我们需要把握的一点就是当未知数的系数出现 ±1\pm1 时，用代入消元法。

加减消元法

1. 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.

2. 用加减法解二元一次方程组的一般步骤:

① 变换系数: 把一个方程或者两个方程的两边都乘适当的数, 使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；

② 加减消元: 把两个方程的两边分别相加或相减, 消去一个未知数, 得到一个一元一次方程

③ 解这个一元一次方程, 求得一个未知数的值；

④ 回代求解: 将求出的未知数的值代入原方程组的任一方程中, 求出另一个未知数的值；

⑤ 把这个方程组的解 写成 {x=ay=b\begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} x = a\\ y = b \\ \end{array} \right. \end{equation} 的形式.

例: 解方程组 ①②{3x−2y=1①2x+y=3②\begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} 3x−2y = 1\qquad\ \ \ \ \ ① \ \\ 2x+y = 3\qquad\ \ \ \ \ \ ② \\ \end{array} \right. \end{equation}

解:②×2 得 4x+2y=6 4x+2y = 6 ③

①+③ 得 7x=77x = 7

解得 x=1 x = 1

把 x=1 x = 1 代入 ① 得 3−2y=1 3−2y = 1

即 y=1 y = 1

所以方程组的解是 {x=1y=1\begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} x = 1\\ y = 1 \\ \end{array} \right. \end{equation}

总结：

（1）加减消元法是万能的，所有二元一次方程组都可以使用加减消元法。

（2）将未知数的系数的绝对值变为最小公倍数。

（3）同号相减，异号相加。

解三元一次方程组

通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.

现在我们一起用例题来巩固一下这部分知识。

例1：（1）用代入消元法解方程组： ①②{x−y=3①3x−8y=14②\begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} x−y = 3\qquad\ \ \ \ \ ① \\3x−8y = 14 \ \ \ \ \ \ \ ②\\ \end{array} \right. \end{equation} .

解: 由 ① 得 x=y+3x = y+3 ③

把 ③ 代入 ② 得 3(y+3)−8y=143(y+3)-8y=14

解得 y=−1 y = -1

把 y=−1 y = -1 代入 ③ 得 x=2x=2

所以方程组的解是 {x=2y=−1\begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} x = 2\\ y = -1 \\ \end{array} \right. \end{equation}

例2：用加减消元法解方程组： ①②{4x−y=9①3x+5y=1②\begin{equation} \left\{ \begin{array}{c}4x−y = 9\qquad\ ①\\ 3x+5y = 1 \ \ \ \ \ \ \ ② \\ \end{array} \right. \end{equation}

解:①×5 得 20x−5y=4520x-5y = 45 ③

②+③ 得 23x=4623x = 46

解得 x=2 x = 2

把 x=2 x = 2 代入 ① 得 8−y=98−y = 9

即 y=−1 y = -1

所以方程组的解是 {x=2y=−1\begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} x = 2\\ y = -1 \\ \end{array} \right. \end{equation}

例3： 解方程组： ①②{2017x−2016y=2015①2015x−2014y=2013②\begin{equation} \left\{ \begin{array}{c}2017x−2016y = 2015\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ①\\ 2015x−2014y = 2013 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ②\\ \end{array} \right. \end{equation} .

极简分析：这种题直接用代入消元法和加减消元法都是很复杂的，但是它依然存在着一些技巧，通过观察我们就能发现①-②之后，会得到一个很简单的式子 2x−2y=22x-2y=2 ，接下来就比较容易了。

解:① - ② 得 2x−2y=22x-2y=2

即 x−y=1x-y = 1 ③

由 ③ 得 x=y+1x = y+1 ④

把 ④ 代入 ② 得 2015(y+1)−2014y=20132015(y+1)-2014y = 2013

解得 y=−2y = -2

把 y=−2 y = -2 代入 ④ 得 x=−2+1=−1x=-2+1=-1

所以方程组的解是 {x=−1y=−2\begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} x = -1\\ y = -2 \\ \end{array} \right. \end{equation}

总结：遇到两个式子系数都非常大的时候，不要直接计算，先加减，然后根据新的式子去计算。

例4： 解方程组： ①②③{x+y+z=1①x−2y−z=3②2x−y+z=0③\begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} x+y+z = 1\ \ \ \ \ \ \ \ ①\\ x−2y−z = 3 \ \ \ \ \ \ ②\\ 2x−y+z = 0\ \ \ \ \ \ \ ③\end{array} \right. \end{equation}

极简分析：先消元，将“三元”转化为“二元”，在进行求解。对于这道题，用加减消元法可以很轻松的消去 zz ，再联立方程组，便可求解.

解:① + ② 得 2x−y=42x-y=4 ④

② + ③得 3x−3y=33x-3y=3 即 x−y=1x-y=1 ⑤

④⑤{2x−y=4④x−y=1⑤\begin{equation} \left\{ \begin{array}{c}2x-y=4\ \ \ \ \ \ \ ④\\ x-y=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ⑤\\ \end{array} \right. \end{equation}

④ - ⑤得 x=3x=3

把 x=3 x = 3 代入 ⑤ 得 3−y=1y=23-y=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=2

把 x=3,y=2 x = 3\ \ ,\ \ y=2 代入 ①得 3+2+z=1z=−43+2+z=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z=-4

所以方程组的解是 {x=3y=2z=−4\begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} x = 3\\ y = 2 \\ z=-4 \end{array} \right. \end{equation}

总结：在解三元一次方程组第一步消元的时候，一定要注意，消去的一定是同一个未知数。

这一期到这里就结束了，虽然看着知识点很多，但其实都是基本功。这部分一定要下去多练习，会方法不代表能做对，我们的目标一定是把题做对。

内容！

下期预告：数学知识篇18：二元一次方程组的应用