反函数的导函数怎么求（一个函数的反函数的导数怎么求）

我将介绍我对反函数的理解以及最基础的解法。（有不合理之处请私聊或者评论指出）

我们在求一个函数的反函数时，我们只需要将自变量和因变量置换，然后求出类似于y=?x的函数即可。（前提是存在反函数，严格单调函数一定存在反函数，与函数的定义有关）接下来举几

个例子：

例1

y=x+15y=\sqrt[5]{x+1}

解题过程：将y=x+15y=\sqrt[5]{x+1}改写为x=y+15x=\sqrt[5]{y+1}，再解出，可得y=x5−1y=x^5-1

例2

y=x2+3y=x^{2}+3

解题过程：将 y=x2+3y=x^{2}+3 改写为 x=y2+3x=y^{2}+3 ,再解出，可得 y=x−3y=\sqrt{x-3}

例3

y=1+ln⁡(x+3)y = 1+\ln(x+3)

解题过程：将y=1+ln⁡(x+3)y = 1+\ln(x+3)改写为x=1+ln⁡(y+3)x = 1+\ln(y+3)，那么：

x=1+ln⁡(y+3)x = 1+\ln(y+3)

ln⁡(y+3)=x−1\ln(y+3)=x-1

y+3=ex−1y+3=e^{x-1}

y=ex−1−3y=e^{x-1}-3

而如果我们在求一个函数的反函数时，不再将x与y置换，而是直接求出x=？y的形式，也就是直接将这里的x看成因变量，y看成自变量。（其实本质和第一种是一个意思，第一种理解只不过是为了迎合高中阶段的惯性思维。下面就举个经典的例子。）

例4

（）y=ln（x+x2+1）y=ln（x+\sqrt{x^{2}+1}）

但问题来了，我们在画函数的反函数时，知道反函数和原函数是以 y=xy=x 为对称轴的，如果我们延续高中的思维，会发现确实如此，但在我们不再将原函数中的x与y对调后，我们会惊讶的发现:

函数的图像好像没有变化！

但真的是这样吗？答案当然是否定的，这是因为我们不自觉的将x看成了自变量，但实际上反函数中的x变成了因变量！

以 y=exy=e^{x} 的反函数 x=lnyx=lny 为例，这个时候，我们的函数图像是不是应该这样画了！