本
文
摘
要
「圆的2种方程互化」所涉及的*配方法*还可以用来求解函数最值问题。
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高考数学 | 高频真题100讲zhuanlan.zhihu.com/c_1013449590187712512在讲解第10题（点击复习）时，我通过2017年天津卷文科数学的第14题为大家介绍了在高考中，「平面向量」类问题有一种较为实用性的方法，即：在平面内建立平面直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算。——此种方法相较于利用平面向量基本定理对题目的拆分转化，在思路上更简便。
这次我们继续来讲关于建立坐标系的题目，通过这一讲的内容，我希望继续深化的谈论关于建立直角坐标系的基本原则，更重要的是我想向你介绍一类全新的「求最值」的思想。
这道题是2017年全国课标卷二理科数学的第12题，这是一道选择压轴题，我为你整理了这道题的Cornell笔记：
多说一句题外话，我为什么推荐你用Cornell笔记纸整理题目？你一定要读这篇文章：3分钟，讲透建立「错题集」的4项基本原则588 赞同 · 43 评论文章如果你想在平面向量基本定理的框架下寻求解法，这个题目有一个最大的问题在于：点P未知，即与P相关的所有条件全部未知——考虑到未知条件过多，选用这种方式在思路上会显得过于繁杂，所以我们不妨采用建立平面直角坐标系的方式来求解。
将向量运算转化为坐标运算，很大程度上避免了因思路卡壳做不出题的情况；但是它的代价是后期的运算可能会稍微花费一些功夫——这是一个「想不出思路」和「算不出结果」之间的取舍，如果以后你面对这种选择，我永远建议你永远不要把注压在「思路」上：因为计算能力是可以训练的，但考场上思路卡壳对你而言就很致命。
下面，我们先来建系。
01、平面直角坐标系的建立原则
但在第10题中，我曾经讲到平面建系有三条重要原则：
其中第一条是纲领性的最高原则，即：建系时不能破坏题目所给条件。
我在《高考数学：自我提升方法》这次课程中特别讲到保证你题目完整解答的第一条标准叫做「条件不能用漏」，通常情况下、建立坐标系时，绝对不可以让坐标轴把题目所给的已知角切成两个不规则的角度——但本题较为特殊：考虑到三角形为等边三角形，三个角各为特殊角60°，若将一角平均分开，则变为两个特殊角30°——这是不影响题目条件的运用的，但是如果已知角为45°，你要是想要把它分为30°和15°的两个角，那很愚蠢，做题时一定需避免破坏这类角度条件，以后我还会在更具体的例子中讲到。
而在不破坏角度和边长条件的前提下，还有两个优先级选项：
其一是尽可能虑图像的对称性：若图像对称，则只需标出一半点的坐标，另一半可根据图像的对称性得出，这可以简化你标点时的运算量；
其二是尽可能使更多的点落在坐标轴上：在坐标轴上的点横纵坐标只有一项为非零值，方便简化运算；了解以上这些原则后，我们可以回过头来继续观察题目：考虑到建系的一个最高原则和两个优先选择。最适用于本题的建系方法为，将ab放在x轴上，过角c做垂直平分线，将角c的垂直平分线放在y轴上。结合条件三角形为边长是2的等边三角形，得出A,B两点坐标为A(-1,0),B(1,0)，再根据60°角的正弦值得出C点坐标为(0,√3)。
已知三角形三点坐标后，设点P作标为(x,y)，此时就可以通过坐标表示出PA，PB，PC，将向量运算转化为坐标运算，使用坐标表示PA·(PB+PC)=2x²+x-1+2y²-√3y。
至此、我们把这个题目的问题转化为了：2x²+x-1+2y²-√3y这个式子在(x,y)随意取值时能达到的最小值是多少？
「求最值」一向是高考中的一个热门话题，我们在100道题的讲解中会陆续讲到所有的求最值思想，等稍后大家可以归纳出一个小专题，今天我们碰到的就是一类非常典型的「求最值」的思想——它来源于「配方」的思想。
02、一个「求最值」的重要方法
观察笔记下方用红框标出的式子2x²+x-1+2y²-√3y。它的基本形式是：ax²+bx+cy²+dy+e——你想到了什么？
你应该想到「圆的一般式方程」。
我在《高中数学15讲》的课程中花了1小节的时间来讲直线和圆不同方程之间的优缺点，其中很重要的一项工作就是你要会使用「配方法」讲圆的一般式转化为标准式，微信搜索*效率研究所*，你可以在左下角 *线上课程* 选项中看到它。
如果你忘记了，我在笔记左侧下方用红笔标出的部分写明了「圆的两种方程互化」形式：圆的一般式通常写作x²+ax+y²+by+f=0，而标准式通常写作(x+a/2)²+(y+b/2)²=r²。由于从圆的标准式可直接看出圆的圆心(-a/2,-b/2)和圆的半径r，而圆心和半径在解答关于圆的问题时十分重要——所以当题目中有圆的一般式时，我们应该将其化为圆的标准式，这是一个简单的数学技能。
在笔记下方有一道例题练习，帮助你更好地理解如何将这个一般式方程化为标准式，简单来说，采用方法一般为配方法。将(x-a)²+(y-b)²=r²拆开变为x²-2a+y²-2b+a²+b²=r²，将每一项与前式x²+4x+y²-6y=3对应比较，定出a,b的值，常数项r的值我们采用“差补，多减”的方法算出。
比如这道题中的2x²+x-1+2y²-√3y，提出常数2后，将2x²+x-1+2y²-√3y化简为2[(x+1/4)²-1/16]+2[(y-√3/4)²-3/16]-1；
利用配方法，我们可以得出式子2(x+1/4)²+2(y-√3/4)²-3/2。
——考虑到平方式的最小值为0，该题的最终结果为-3/2。
换言之、点P的位置需满足x=-1/4，y=√3/4时，才能使2(x+1/4)²+2(y-√3/4)²两项的平方和0，即点P坐标为(-1/4，√3/4)时PA·(PB+PC)有最小值为-3/2。
到这里本题讲解完毕。
03、复 盘：本讲关键要点
结束讲解后重新梳理本题，我们会发现有两个最为关键的问题
第一，建立坐标系有三条最基本的原则：不破坏边角条件、图像对称性、尽可能将关键点落在坐标轴上；
第二，关于ax²+bx+cy²+dy+e=0这种形式的「函数求最值」的思路：你要想到圆的方程互化，而且任何数的平方都大于等于0。类似的问题在2018年的高考真题中也同样出现，用到了相同的解答策略，你可以在《万剑归宗十套卷第二期：2018年高考真题精讲》中收听这道相关题目的讲解，欢迎你和大家一起学期。
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00 / 16天提升53分，我总结了6个关键学习方法（8000字干货）
01 / 真题精讲 - 01 | 分析「函数」的基本原则
02 / 真题精讲 - 02 | 通过「定义域」构建解题思路
03 / 真题精讲 - 03 | 通过「单调性分析」构建解题思路
04 / 真题精讲 - 04 | 函数「对称性」的条件识别原则
05 / 真题精讲 - 05 | 使用正弦定理进行「边角互化」的基本原则
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07 / 真题精讲 - 07 | 三角函数求最值的常规原则
08 / 真题精讲 - 08 | 三角函数求最值的转化思路
