单摆周期公式（单摆实验）

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预备知识　简谐振子， 匀速圆周运动

理想的单摆由一个质点和一个质量不计的细绳（或细杆）组成． 绳的一头连接质点， 另一头固定不动． 我们来对单摆做受力分析． 如图 1 ， 令质点质量为 mm， 受重力大小为 mgmg， 受绳的拉力大小为 TT． 将重力沿与绳平行的方向和垂直的方向正交分解， 分力大小分别为 mgcos⁡θmg\cos\theta 和

mgsin⁡θmg\sin\theta． 由于绳的限制， 质点只允许做圆周运动， 所以绳的拉力与重力平行绳的分量必然提供质点的向心力．

T−mgcos⁡θ=mac(1)\begin{align}&T - mg\cos\theta = ma_c&(1)\\\end{align}

对于变速圆周运动， 向心加速度仍然可以用 ac=v2/La_c = v^2/L 求解， 其中 LL 是绳长即圆的半径（证明见 “变速圆周运动”）．在求单摆运动时， 拉力 TT 的大小并不重要， 我们更关心的是摆角

θ\theta 随时间的变化．

图 1：单摆

　　 令质点向右运动时速度为正， 角速度和速度的关系为

θ˙=v/L\dot\theta = v/L， 对其两边求导得角加速度和加速度的关系

θ¨=aθ/L(2)\begin{align}&\ddot\theta = a_\theta/L&(2)\\\end{align}

其中 aθa_\theta 是质点延垂直绳方向的加速度． 现在沿垂直绳方向运用牛顿第二定律， 并代入上式中的

aθa_\theta 得

−mgsin⁡θ=maθ=−mθ¨L(3)\begin{align}&-mg\sin\theta = ma_\theta = -m\ddot\theta L&(3)\\\end{align}

两边消去质量可得摆角

θ\theta 关于时间的二阶微分方程．

Lθ¨=−gsin⁡θ(4)\begin{align}&L\ddot\theta = - g\sin\theta&(4)\\\end{align}

解出该方程即可得到单摆做任意幅度摆动的规律． 虽然我们还不知道方程的解， 但观察方程可知单摆的运动规律只与摆长 LL 和重力加速度 gg 有关， 而与质点的质量无关． 所以改变同一单摆的质量不会改变它的运动规律．

小幅度摆动

预备知识　小角正弦值极限

遗憾的是， 式 4 的解并不能用有限个基本初等函数表示， 而是需要使用椭圆积分． 我们先来考虑一种简单的情况， 即单摆进行小的幅度摆动． 当 θ→0\theta \to 0 时， 可以把式 4 中的 sin⁡θ\sin\theta 近似为 θ\theta． 令质点从最低点到当前位置之间的弧长为 ss， 则有 s=θLs = \theta L 和 s¨=aθ=θ¨L\ddot s = a_\theta = \ddot\theta L， 式 4 变为

ss 的微分方程

s¨=−gLs(5)\begin{align}&\ddot s = - \frac gL s&(5)\\\end{align}

观察该式可以发现其结构与简谐振子的微分方程（式 1 ） 非常相似． 用同样的方法， 可得通解为

s=Acos⁡(ωt+φ0)(ω=g/L)(6)\begin{align}&s = A \cos\left(\omega t + \varphi_0\right) \qquad \left(\omega = \sqrt{g/L} \right)&(6)\\\end{align}

考虑到 θ→0\theta \to 0 的情况下， 圆弧可以近似为线段， 所以可以认为此时质点在做一维简谐运动， 用坐标 xx 代替弧长

ss．