本
文
摘
要
一、实系数多项式
nn 次（实系数）多项式函数的一般形式为：
p(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0,an≠0p(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \quad a_n \neq 0
一些结论：
1. （代数学基本定理） nn 次多项式必有 nn 个根（实根或复根，可以是重根），也即可分解为
p(x)=an(x−z1)(x−z2)⋯(x−zn),zi∈Cp(x)=a_n (x - z_1)(x-z_2) \cdots(x -z_n), \, \quad z_i \in \mathbb{C}
2. p(x)p(x) 的复根必是成对出现的，即若 a+bia + b i 是根，则其共轭a−bia - bi 也是。
实际上，若 anzn+an−1zn−1+⋯+a1z+a0=0a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0 = 0 ， 两端取共轭可得
anz¯n+an−1z¯n−1+⋯+a1z¯+a0=0a_n \bar{z}^n + a_{n-1} \bar{z}^{n-1} + \cdots + a_1 \bar{z} + a_0 = 0 .
3. 由 2 知，
[x−(a+bi)]⋅[x−(a−bi)]=x2−2ax+(a2+b2)[x-(a+bi)] \cdot [x - (a-bi)] = x^2 - 2ax + (a^2+b^2)
也是 p(x)p(x) 的因子。因此，任意多项式必可写成一次或二次实系数因子的乘积。
二、整系数多项式的因式分解
整系数多项式因式分解的原理是，先试出有理根 rr ，多项式对线性因子 x−rx-r 做多项式除法，逐步降低次数。
1. 试有理根
试根定理：设 f(x)f(x) 为 nn 次整系数多项式（ n≥1n \geq 1 ），其形式为：
f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0,an≠0f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \quad a_n \neq 0 ， a0≠0a_0 \neq 0
若 x=pqx = \frac{p}{q} 为 ff 的有理根（ p,qp,q 互质，公约数只有 ±1\pm 1 ），则 pp 必为常数项 a0a_0 的整数因子， qq 必为首项 ana_n 的整数因子。
根据多项式除法原则，有f(x)=(x−k)d(x)+rf(x)=(x-k)d(x)+r，故余数可表示为 r=f(k)r=f(k) ，从而，若 kk 是 f(x)f(x) 的根，则 f(k)=0f(k)=0 .
基于以上事实，对于一个整系数多项式，就可以先找出其有理根候选 kik_i ，再验证是否满足 f(ki)=0f(k_i)=0 ，就可以确定 kik_i 是否为根。
例. 多项式 2x3−3x2−5x−122x^3-3x^2-5x-12 ，其可能的有理根为：
分子： 1212 的整数因子， 1,2,3,4,6,121,2,3,4,6,12
分母： 22 的整数因子， 1,21,2
故可能的有理根为： {±1,2,3,4,6,121,±1,2,3,4,6,122}={±12,±1,±32,±2,±3,±4,±6,±12}\Big\{ \pm \frac{1,2,3,4,6,12}{1}, \, \pm \frac{1,2,3,4,6,12}{2} \Big\} = \Big\{ \pm\frac{1}{2}, \pm 1, \pm \frac{3}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \Big\}
2. 综合除法
若 kik_i 是 f(x)f(x) 的根，则 f(x)=(x−ki)g(x)f(x)=(x-k_i)g(x) , 其中， g(x)g(x) 为 n−1n-1 次多项式。
为了得到 g(x)g(x) ，就需要用 f(x)f(x) 除以 (x−ki)(x - k_i) .
与整数做除法类似，举例来看，多项式的普通除法：
优化上述算法：
（1）变量 xx 的幂次依次降幂排列，只要对应好位置，完全可以省略之，即
（2）观察同一列的 −5,−12-5, -12 只是每次重复地落下来，把有用的数压缩上去，避免这种重复落下，得到
（3）继续优化，因子 x−3x-3 对应的根是 33 ，把（2）中的 −3-3 换成 33 ，把原来的竖直方向“做差”换成“做和”，也相当于乘以个 −1-1 变号，得到
结果是，下面的 2,3,42,3,4 结合对应的 xx 幂次，得到商 2x2+3x+42x^2 + 3x +4 ，余数是 00 .
这就是“综合除法”。
总结多项式 2x3−3x2−5x−122x^3-3x^2-5x-12 对因子 x−3x-3 做综合除法的步骤如下：
i) 将多项式的各系数从高到低排列（注意：没有的幂次，系数用 00 补齐），将 33 放在左上角隔开，下面空一行，再画一条分割线；
ii) 将第一个数 22 落下来， 3×2=63 \times 2 = 6 放到下一位， (−3)+6=3(-3) + 6 = 3 落下来；
再 3×3=93 \times 3 = 9 放到下一位， (−5)+9=4(-5)+9=4 落下来；
再 3×4=123 \times 4 =12 放到下一位， (−12)+12=0(-12) + 12 = 0 结束；
iii) 取出最后一行最后一个数为余数，其余的数和对应幂次结合得到商。
注1：综合除法支持复数，即若已知多项式的某个复根 a+bia+bi , 对它做综合除法也可以；
注2：综合除法也可以帮助试有理根：
① 若 k≥0k \geq 0， 对 kk 做综合除法，若最后一行除了 00 之外都为正，则 kk 必是所有实根的上界；
② 若 k≤0k \leq 0 ，对 kk 做综合除法，若最后一行除了 00 之外正、负交替出现，则 kk 必是所有实根的下界。
3. 完成因式分解
用上述方法，找到一个有理根，就能提出一个一次因子，对得到的“商”重复这一过程，只要有有理根，就可以逐渐降低幂次，只到二次多项式，再利用十字相乘法或求根公式，即可完成最终的因式分解。
三、用Matlab实现多项式因式分解
以上是笔算。下面用Matlab实现，factor()函数可以对整系数多项式进行实数域内的分解，也可以对整数分解质因数：
>> factor(1112) ans = 2 2 2 139 >> syms x y >> f=2*x^3-3*x^2-5*x-12; >> factor(f) ans = [ x - 3, 2*x^2 + 3*x + 4] >> roots([2 3 4]) %求复根, Matlab不能用无理数形式表示 ans = -0.7500 + 1.1990i -0.7500 - 1.1990i >> g=x^2+3*x*y+2*y^2+4*x+5*y+3; >> factor(g) ans = [ x + y + 1, x + 2*y + 3]注1：将因子式乘开，用函数expand()；合并同类项用函数collect(), 其第二个参数可选，设置按哪个变量合并同类项；化简复杂的表达式用函数simplify().
附：用Mathematica实现多项式因式分解（也支持非整系数多项式）
f[x_]=2x^3-3x^2-5x-12Factor[f[x]](*在有理数域*)Factor[f[x],Extension->{Sqrt[23],I}](*在无理数域和复数域*)注：不用Sqrt[23]不能成功， 23=4ac−b2=4⋅2⋅4−3223=4ac-b^2 = 4 \cdot 2 \cdot4 - 3^2 ，或者自己求复根：
Solve[4+3x+2x^2==0,x]