本
文
摘
要
在圆这一章中，圆与直线的位置关系很重要。直线与圆有三种位置关系，分别为相离、相切与相交，尤其是相切，不仅要掌握基本定义外，还需要掌握切线的性质定理与判定定理。证明切线的方法有四种，我们需要熟练掌握两种证明切线的技巧，其中有三种思路也需要理解。
方法一：切点已知，作半径，证垂直
已知切点（该点在未确定前不能称之为切点），即当直线与圆有公共点时，选择作半径，即连接圆心与该公共点，证明垂直，常见证明垂直的思路有三种。
第一种思路：利用勾股定理的逆定理证明垂直
例题1：如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为圆⊙O上一点，PC=8，PB=4，AB=12，求证：PC是⊙O的切线．
分析：证明直线PC为圆O的切线，已知点C在圆上，即切点已知，可连接OC，证明OC⊥PC。根据已知数据可以得到PC=8，OC=6，PO=10，利用勾股定理的逆定理证明∠OCP=90°。
连接BC，OC，AC，证△PCB∽△PAC，推出∠PCB=∠A=∠ACO，∠CBA=∠OCB，根据圆周角定理求出∠ACB=∠ACO+∠OCB=90°，推出∠OCP=90°，根据切线的判定推出即可．
本题可借助勾股定理逆定理或者相似三角形证明垂直，再根据切线的定义进行判定。
第二种思路：利用全等证明垂直
例题2：如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．求证：PB是⊙O的切线.
分析：要证明PB是切线，已知“交⊙O于点B”，即切点已知，可作半径，证垂直，即连接OB，可通过证明△POB≌△POA得到。
第三种思路：利用两个锐角互余证明垂直
例题3：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，连接OD并延长，交BC延长线于点F．求证：DE是⊙O的切线
分析：求证DE是切线，已知“以AB为直径作⊙O交AC于点D”，即切点已知，可作半径，证垂直，证明∠ODE=90°。
这三种思路在证明垂直时能经常用到，当选择用“作半径，证垂直”时可以考虑用这三种思路。
方法二：切点未知，作垂直，证半径
当切点未知时，选择作半径，即过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长度等于圆的半径。
例题4：如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D．求证：AB是半圆O所在圆的切线
分析：要证明直线AB为圆的切线，切点未知，应该过点O作直线AB的垂线，证明其等于半径。
