圆的切线方程求法（求点到圆的切线方程）

秒杀结论：

圆 (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} 在切点 P(x0,y0)P\left(x_{0}, y_{0}\right) 处的切线方程为：

(x−a)(x0−a)+(y−b)(y0−b)=r2(x-a)\left(x_{0}-a\right)+(y-b)\left(y_{0}-b\right)=r^{2}

原理

设切线上有一点 Q(x,y)Q(x, y) ，圆心为 O(a,b)O(a, b)

则 QOQO 在 POPO 上的投影为 PO=r\mathrm{PO}=r ，于是 QO→⋅PO→=r2\overrightarrow{Q O} \cdot \overrightarrow{P O}=r^{2}

带入向量坐标：

(x−a)(x0−a)+(y−b)(y0−b)=r2(x-a)\left(x_{0}-a\right)+(y-b)\left(y_{0}-b\right)=r^{2}

题：求圆 (x+1)2+y2=4(x+1)^{2}+y^{2}=4 在点 (0,3)(0, \sqrt{3}) 处的切线方程

极简分析：直接使用结论：

(x+1)(0+1)+y⋅3=4(x+1)(0+1)+y \cdot \sqrt{3}=4 ，即 x+3y−3=0x+\sqrt{3} y-3=0

题2：已知圆 C:x2+y2−4x=0C: x^{2}+y^{2}-4 x=0 与直线切于点 P(1,3)P(1, \sqrt{3}) ，则直线 ll 的方程为_____.

极简分析：将圆的方程化为标准形式： (x−2)2+y2=4(x-2)^{2}+y^{2}=4

练习1：求圆 (x−2)2+(y+1)2=10(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=10 在点 (−1,−2)(-1,-2) 处的切线方程

练习2：过点 P(2,4)P(2,4) 作圆 C:(x−1)2+(y−2)2=5C:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=5 的切线，则切线方程为（ ）

练习3：过圆 x2+y2−4x+my=0x^{2}+y^{2}-4 x+m y=0 上一点 P(1,1)P(1,1) 的圆的切线方程为______。

练习4：若直线 ax+by+7=0a x+b y+7=0 与圆 x2+y2+4x−1=0x^{2}+y^{2}+4 x-1=0 切于点 P(−3,2)P(-3,2) ，则

ab=a b= _______。

练习5：过点 (3,1)(3,1) 作圆 (x−1)2+y2=r2(x-1)^{2}+y^{2}=r^{2} 的切线有且只有一条，则该切线

的方程为______。

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