根式方程的定义域（根式怎么求值域）

本文主要内容：用平方根式的定义域求代数值的方法

举例1：已知y=√(1-x)+√(x-1)+2,求y的值。

解：

对√(1-x)有：1-x≥0，即：x≤1；

对√(x-1)有：x-1≥0，即：x≥1；

综上所述，当且仅当x=1时，两个根式成立，则：

y=√(1-1)+√(1-1)+2

=0+2

=2.

【注】本例是平方根根式定义域为非负数的基本应用。

举例2：已知y=√(2-x)+2*√(x-2),分别求y,y+2x,x+3xy+2,(x+y)^2和x^3+3(x+y)x的值。

解：

对√(2-x)有：2-x≥0，即：x≤2；

对√(x-2)有：x-2≥0，即：x≥2；

综上所述，当且仅当x=2时，两个根式成立，则：

y=√(2-2)+2*√(2-2)=0.

进一步有：

(1)y+2x=0+2*2=4；

(2)x+3xy+2=2+3*0+2=4;

(3)(x+y)^2=(2+0)^2=4；

(4)x^3+3(x+y)x=2^3+3*(2+0)*2=8+12=20.

【注】本例是通过平方根根式定义域要求解析自变量x的值，再代入求解代数式的值。

举例3：已知y=2*√(1+2x)+√(2x+1)+(x-1)^2,

分别求y,|x^2-xy-1|,(x+2y)^2和x^3+2(x-y)的值。

解：

对√(1+2x)有：1+2x≥0，即：x≤-1/2；

对√(2x+1)有：2x+1≥0，即：x≥-1/2；

综上所述，当且仅当x=-1/2时，两个根式成立，则：

y=2*√(1-1)+√(1-1)+(-1/2-1)^2

=0+(-3/2)^2

=9/4.

进一步有：

(1)|x^2-xy-1|

=|(-1/2)^2-(-1/2)*(9/4)-1|

=|(1/4)+(9/8)-1|

=3/8.

(2)(x+2y)^2

=(-1/2+2*9/4)^2

=(-1/2+9/2)^2=16;

(3)x^3+2(x-y)

=(-1/2)^3+2*(1/2-9/4)

=(-1/8)-(7/2)

=-29/8.

【注】本例是进一步深入，已知条件中分两部分，先通过平方根根式定义域判断自变量x的值，再代入到第二部分，得到因变量y的值，进而代入所求代数式计算得值。