数字信号处理DF是什么（数字信号dfs什么意思）

引言：在前面的文章中，我们理解了DTFT与DFT的关系，接下来就是要研究DFT的应用。在DFT的应用中，利用DFT的循环卷积定理进行线性卷积的快速运算这一应用是极其重要的，理解这一重要应用，才能更加清晰理解DFT的快速运算---FFT的作用。本文将从原理入手，给出实际例子，为你细致讲解用DFT实现线性卷积快速运算的过程！

首先交代背景，我们知道，在实际的应用中，计算一个离散时间系统的输出为：输入离散时间序列和系统单位脉冲响应的线性卷积。然而，线性卷积的计算量是很大的，这牵制了计算机的运算速度，因此我们希望运用循环卷积定理，借助DFT的快速算法FFT，从循环卷积和线性卷积的关系入手，解决这一问题，快速得到系统的输出。

一.循环卷积定理

循环卷积定理指的是：两个有限长序列循环卷积的结果得DFT，等于这两个序列单独做DFT后的乘积，具体公式为下图：

之所以引入这一定理，是因为DFT存在一种快速运算---FFT（后面文章会讲到），FFT可以把计算时间大大缩短。因此只要计算出两个序列的DFT，将他们相乘，再把结果作IDFT，就可以得到两个有限长序列的循环卷积。

注意！我们的目标是求两个序列的线性卷积，因此接下来的任务是找到循环卷积的关系！

二.循环卷积和线性卷积的关系

线性卷积和循环卷积的关系要由周期卷积做过度，周期卷积为，假设 x1(n)x_{1}(n) 长度为N， x2(n)x_{2}(n) 长度为M，则选取 L≥L\geq max(N,M)，以L为周期将两序列线性卷积的结果周期延拓，然后重叠部分相加，留下对应的L个点，所得即为周期卷积结果。可见当 L≥L\geq N+M-1(线性卷积长度）时，周期卷积结果等于线性卷积结果。

而两个序列循环卷积的结果长度为周期卷积后取主值（取值的点数为循环卷积的点数）。

因此，当给两个序列末尾补零，使得两个序列长度都为N+M-1，此时，做循环卷积的结果就等于线性卷积的结果。

注意笔记中波浪线的部分，可借助具体例子理解

三.有限长序列与有限长序列的线性卷积计算

实际系统中，我们的系统的系统单位冲脉冲响应是确定的，假设它是有限长的 h(n)h(n) ，当输入 x(n)x(n) 也为有限长时，可用如下方法计算：

也就是，等待输入都输入完成，对两序列补零，利用循环卷积和线性卷积关系做运算，最后做IDFT得到结果

四.无限长与有限长序列的线性卷积计算

如果输入是一个很长很长的序列，我们不可能等所有的点都输入进来之后，再对序列补零计算，这样等待输入的时间是很长的，对于这样的情况，我们有重叠相加法和重叠保留法，这两种方法只是对输入的切割方式不同，总体思想都是分割输入，转换为一段一段的有限长序列来计算，带来的结果是一样的，下面笔记中给出的实际例子说明了这一点！

可见两种方法得到的结果是一样的

至此，我们已经知道了如何借助循环卷积和线性卷积的关系，通过循环卷积定理，利用FFT快速计算系统的输出了（无论是有限长的输入还是无限长的输入），在后面的文章中，将学习FFT的具体操作方法。