本
文
摘
要
请看2道题：
1.抛一枚均匀硬币一次，正面朝上的概率是多少？
2.抛一枚均匀硬币两次，两次正面朝上的概率是多少？
对于第1题，很多同学可能马上就把答案脱口而出：“½！”可是到了第2题，就被难住了。
第2题难在哪里呢？
先看第1题的答案：“½”。它是怎么来的呢？
抛一枚均匀硬币一次，有2种可能的结果，一是正面朝上，二是反面朝上，它们出现的可能性相同，所以分母是“2”；其中，“正面朝上”的结果有1种，所以分子是“1”。
也就是说，如果能够列出所有等可能结果，我们就能把概率算出来。
问题来了，像第2题，一枚均匀硬币抛两次，有几种等可能结果呢？
有的同学反应很快：“我知道，两次正面朝上、两次反面朝上和一正一反朝上，有3种！”
这是不对的，因为这三种结果的可能性不同，一正一反朝上会比另外两种情况更容易出现。
那怎么办呢？有两件工具，一是树状图，二是表格。
先说树状图。
以第2题为例，我们可以通过三个步骤，画出一个成功的树状图：
第1步，写标题。
由题目中的”抛一枚均匀硬币两次”，可在第一行写上三个标题：第1次、第2次和结果。
第2步，列可能。
因为第1次抛硬币时，等可能结果有2种，正面朝上和反面朝上，所以在“第1次”标题的下方，列出“正面”和“反面”。
如果第1次抛是正面朝上，那么第2次抛硬币时，等可能结果还是2种，正面朝上和反面朝上，所以在“第2次”的下方，对着“第1次”下方的“正面”，列出“正面”和“反面”，并连线。
同样的道理，在“第2次”的下方，对着“第1次”下方的“反面”，列出“正面”和“反面”，并连线。
第3步，写结果。
在“结果”的下方，对着“第2次”的每一种可能，用坐标的形式写出结果，比如，（正面，反面）表示第一次正面朝上，第二次反面朝上。
至此，树状图就画完了。从图可看出，共有4种等可能结果，其中两次正面朝上的结果有1种，所以概率为1/4，问题解决。
说完树状图，再说说列表格。
还是以第2题为例，我们可以通过四个步骤，列出一个成功的表格：
第1步，画表格。
表格由行和列组成，这道题需要几行几列呢？
第1次抛硬币时，等可能结果有2种，所以行数=2+1=3行；第2次抛硬币时，等可能结果有2种，所以列数=2+1=3列，也就是说，我们要画一个3行3列的表格。
有同学可能要问，为什么要加“1”呢？
很简单，加的是标题啊！
第2步，写标题。
找到表格的左上角的单元格，画对角线，把它“劈”开两半，在下面的一半中写“第1次”，在上面的一半写“第2次”。
第3步，列可能。
在“第1次”下方的格子中，写上“正面”和“反面”；接着，在“第2次”右边的格子中，也写上“正面”和“反面”。
第4步，填结果。
在剩余的单元格中，用坐标的形式写出结果，比如，（正面，反面）表示第一次正面朝上，第二次反面朝上。
至此，表格就列完了。从表中同样可以看出，共有4种等可能结果，其中两次正面朝上的结果有1种，所以概率为1/4，问题解决。
有的同学可能要问：“我知道怎么做了，但是不会写过程，怎么办？”不用怕，这里给你一个可套用的答题框架：
①说前提：∵每个结果都是等可能事件
②列结果：画树状图，或列表格
③求总结果数：共有m种等可能结果
④求事件结果数：事件A结果有n种
⑤求概率：P（A）=n/m
有的同学可能要问：“这道题我会做了，可是换一道题，我就不知道该不该用树状图或表格，怎么办？”
注意看，第1题和第2题有一个区别，前者只涉及1个因素，后者涉及“第1次”和“第2次”两个因素。
当一个试验涉及2个因素时，我们就可以利用树状图或表格，不重复不遗漏地列出所有等可能的结果，从而更方便地求出某些事件发生的概率。
如果超过2个因素呢？列表格就帮不上忙了，树状图还是可以胜任的。
很简单，对吗？来看看这道题：
一个袋子里有2个红球、1个蓝球和1个黄球，它们除了颜色以外都相同，小明先从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个，请问小明摸到两个红球的概率是多少？
有的同学可能很快地画了这样的树状图：
对吗？不对，红球的数量更多，摸到它与摸到蓝球和黄球的可能性是不一样的。
那怎么办？可以把2个红球编号，记为红1、红2，这样随机摸出一个球，结果就可能是红1、红2、蓝或黄，它们是等可能的。
那就把树状图改成这样，可以了吧？
也不对。题目说到，小明第1次摸球出来后，是“不放回”的。既然是不放回，第1次如果摸到红1，第2次是不可能再摸到红1的，也就是说，同一种可能不会在“第2次”中再次出现。
正确的树状图，应该是这样的：
如果我选择列表格，又该做出什么样的调整呢？
按照原本的思路，我们列的表格是这样的：
可是，因为题目说了“不放回”，所以红1和红1不可能出现在同一个结果中；以此类推，同一种可能重复出现的结果都应该删掉。
正确的表格，是这样的：
从表格可看出，共有12种等可能结果，摸到两个红球的结果有2种，所以概率为2/12，也就是1/6。
我是总结
1.列树状图的步骤：
①写标题：分清试验的2个因素；
②列可能：列出每个因素的等可能结果；
③写结果：用坐标形式。
2.列表格的步骤：
①画表格：通过计算预估行数和列数；
②写标题：左上角画斜线；
③列可能：第1列和第1行；
④填结果：用坐标形式。
3.两个注意事项：
①切记“等可能”是基本前提；
②如果是“不放回”，树状图和表格要调整：
- 树状图中，同一种可能不出现在“第2次”中；
- 表格中，同一种可能在同一个结果不重复。
4.一个答题框架：
①说前提：∵每个结果都是等可能事件；
②列结果：画树状图，或列表格；
③求总结果数：共有m种等可能结果；
④求事件结果数：事件A结果有n种；
⑤求概率：P（A）=n/m。
