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用树状图和列表法求概率时应该注意些什么(用树状图和列表法求概率例题)

请看2道题:

1.抛一枚均匀硬币一次,正面朝上的概率是多少?

2.抛一枚均匀硬币两次,两次正面朝上的概率是多少?

对于第1题,很多同学可能马上就把答案脱口而出:“½!”可是到了第2题,就被难住了。

第2题难在哪里呢?

先看第1题的答案:“½”。它是怎么来的呢?

抛一枚均匀硬币一次,有2种可能的结果,一是正面朝上,二是反面朝上,它们出现的可能性相同,所以分母是“2”;其中,“正面朝上”的结果有1种,所以分子是“1”。

也就是说,如果能够列出所有等可能结果,我们就能把概率算出来。

问题来了,像第2题,一枚均匀硬币抛两次,有几种等可能结果呢?

有的同学反应很快:“我知道,两次正面朝上、两次反面朝上和一正一反朝上,有3种!”

这是不对的,因为这三种结果的可能性不同,一正一反朝上会比另外两种情况更容易出现。

那怎么办呢?有两件工具,一是树状图,二是表格。

先说树状图。

以第2题为例,我们可以通过三个步骤,画出一个成功的树状图:

第1步,写标题。

由题目中的”抛一枚均匀硬币两次”,可在第一行写上三个标题:第1次、第2次和结果。

第2步,列可能。

因为第1次抛硬币时,等可能结果有2种,正面朝上和反面朝上,所以在“第1次”标题的下方,列出“正面”和“反面”。

如果第1次抛是正面朝上,那么第2次抛硬币时,等可能结果还是2种,正面朝上和反面朝上,所以在“第2次”的下方,对着“第1次”下方的“正面”,列出“正面”和“反面”,并连线。

同样的道理,在“第2次”的下方,对着“第1次”下方的“反面”,列出“正面”和“反面”,并连线。

第3步,写结果。

在“结果”的下方,对着“第2次”的每一种可能,用坐标的形式写出结果,比如,(正面,反面)表示第一次正面朝上,第二次反面朝上。

至此,树状图就画完了。从图可看出,共有4种等可能结果,其中两次正面朝上的结果有1种,所以概率为1/4,问题解决。

说完树状图,再说说列表格。

还是以第2题为例,我们可以通过四个步骤,列出一个成功的表格:

第1步,画表格。

表格由行和列组成,这道题需要几行几列呢?

第1次抛硬币时,等可能结果有2种,所以行数=2+1=3行;第2次抛硬币时,等可能结果有2种,所以列数=2+1=3列,也就是说,我们要画一个3行3列的表格。

有同学可能要问,为什么要加“1”呢?

很简单,加的是标题啊!

第2步,写标题。

找到表格的左上角的单元格,画对角线,把它“劈”开两半,在下面的一半中写“第1次”,在上面的一半写“第2次”。

第3步,列可能。

在“第1次”下方的格子中,写上“正面”和“反面”;接着,在“第2次”右边的格子中,也写上“正面”和“反面”。

第4步,填结果。

在剩余的单元格中,用坐标的形式写出结果,比如,(正面,反面)表示第一次正面朝上,第二次反面朝上。

至此,表格就列完了。从表中同样可以看出,共有4种等可能结果,其中两次正面朝上的结果有1种,所以概率为1/4,问题解决。

有的同学可能要问:“我知道怎么做了,但是不会写过程,怎么办?”不用怕,这里给你一个可套用的答题框架:

①说前提:∵每个结果都是等可能事件

②列结果:画树状图,或列表格

③求总结果数:共有m种等可能结果

④求事件结果数:事件A结果有n种

⑤求概率:P(A)=n/m

有的同学可能要问:“这道题我会做了,可是换一道题,我就不知道该不该用树状图或表格,怎么办?”

注意看,第1题和第2题有一个区别,前者只涉及1个因素,后者涉及“第1次”和“第2次”两个因素。

当一个试验涉及2个因素时,我们就可以利用树状图或表格,不重复不遗漏地列出所有等可能的结果,从而更方便地求出某些事件发生的概率。

如果超过2个因素呢?列表格就帮不上忙了,树状图还是可以胜任的。

很简单,对吗?来看看这道题:

一个袋子里有2个红球、1个蓝球和1个黄球,它们除了颜色以外都相同,小明先从中随机摸出一个球,记下颜色后不放回,再从中随机摸出一个,请问小明摸到两个红球的概率是多少?

有的同学可能很快地画了这样的树状图:

对吗?不对,红球的数量更多,摸到它与摸到蓝球和黄球的可能性是不一样的。

那怎么办?可以把2个红球编号,记为红1、红2,这样随机摸出一个球,结果就可能是红1、红2、蓝或黄,它们是等可能的。

那就把树状图改成这样,可以了吧?

也不对。题目说到,小明第1次摸球出来后,是“不放回”的。既然是不放回,第1次如果摸到红1,第2次是不可能再摸到红1的,也就是说,同一种可能不会在“第2次”中再次出现。

正确的树状图,应该是这样的:

如果我选择列表格,又该做出什么样的调整呢?

按照原本的思路,我们列的表格是这样的:

可是,因为题目说了“不放回”,所以红1和红1不可能出现在同一个结果中;以此类推,同一种可能重复出现的结果都应该删掉。

正确的表格,是这样的:

从表格可看出,共有12种等可能结果,摸到两个红球的结果有2种,所以概率为2/12,也就是1/6。

我是总结

1.列树状图的步骤:

①写标题:分清试验的2个因素;

②列可能:列出每个因素的等可能结果;

③写结果:用坐标形式。

2.列表格的步骤:

①画表格:通过计算预估行数和列数;

②写标题:左上角画斜线;

③列可能:第1列和第1行;

④填结果:用坐标形式。

3.两个注意事项:

①切记“等可能”是基本前提;

②如果是“不放回”,树状图和表格要调整:

- 树状图中,同一种可能不出现在“第2次”中;

- 表格中,同一种可能在同一个结果不重复。

4.一个答题框架:

①说前提:∵每个结果都是等可能事件;

②列结果:画树状图,或列表格;

③求总结果数:共有m种等可能结果;

④求事件结果数:事件A结果有n种;

⑤求概率:P(A)=n/m。

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