本
文
摘
要
导函数可以说是高中数学中最难的东西了，且基本上在每年的高考都放置最后一道必考题的位置，这也可以体现其重要性。但如果高考数学想拿高分的话，这个题必须啃下来，看完这个系列文章，相信你的导数可以有质的飞跃。
想解决高考的导函数大题，首先要掌握下列导数的基本公式
1、基本初等函数的求导公式
（为常数）y=C（C为常数）⇒y′=0y=C（C为常数）\Rightarrow y=0
（）y=xn（n∈N∗）⇒y′=nxn−1y=x^{n}（n\in N^{*}）\Rightarrow y=nx^{n-1}
y=ex⇒y′=exy=e^{x}\Rightarrow y’=e^{x}
y=lnx⇒y′=1xy=lnx\Rightarrow y=\frac{1}{x}
y=sinx⇒y′=cosxy=sinx\Rightarrow y=cosx
y=cosx⇒y′=−sinxy=cosx\Rightarrow y=-sinx
* 0,且a≠1)\Rightarrow y=a^{x}lna">且y=ax(a>0,且a≠1)⇒y′=axlnay=a^{x}(a>0,且a≠1)\Rightarrow y=a^{x}lna
* 0,且a≠1)\Rightarrow y=\frac{1}{xlna}">且y=logax(a>0,且a≠1)⇒y′=1xlnay=log_{a}x(a>0,且a≠1)\Rightarrow y=\frac{1}{xlna}打星号的两条公式使用次数非常少，但也不要因为不常考就不去记忆，万一你高考的时候就偏偏考了，而你有没有记忆怎么办呢！下面再给出几个上面没有出现但又常见的求导公式。
y=1x⇒y′=−1x2y=\frac{1}{x}\Rightarrow y=-\frac{1}{x^{2}}
y=xlnx⇒y′=lnx+1y=xlnx\Rightarrow y=lnx+12、导数的运算法则
[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)[f(x)\pm g(x)]=f(x)\pm g(x)
[f(x)⋅g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)[f(x)\cdot g(x)]=f(x)g(x)+f(x) g(x)
[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2,[g(x)≠0][\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{f(x)g(x)-f(x) g(x)}{[g(x)]^{2}} , [g(x)≠0]3、复合函数求导
复合函数 y=f[g(x)]y=f[g(x)] 的导数和函数 y=f(u)y=f(u) , u=g(x)u=g(x) 的导数关系为 yx′=yu′⋅yx′y_{x}=y_{u}\cdot y_{x}
有了上面的基础，我们就可以开始今天的内容了——用导数求函数单调性。
可以毫不客气的说，所有高中的导数大题第一问一定是涉及到求导函数的单调性的，这个也是完成一道导数大题中最基本的一步，在很多的考试中，求单调性拿的分数可以到达一道题的一半分，甚至更多，因此这一部分的训练对于高中导数大题的提分上来说，是非常重要的！
先记着一个基本准则，高中最常见到的函数形式就是二次函数，所以对二次函数求单调性是训练的关键。
这张图片里面的内容就是导数求单调性的最核心内容，根据这幅图片我们来练几个例题。
例1 求函数 f(x)=13x3+x2+ax+1f(x)=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+ax+1 的单调区间；
解：求导可得 f′(x)=x2+2x+af(x)=x^{2}+2x+a .
（1）当Δ=4−4a≤0\Delta=4-4a\leq0即 a≥1a\geq1 时， x2+2x+a≥0x^{2}+2x+a\geq0 恒成立.
∴ f(x)f(x) 在 RR 上单调递增.
（2）当 0">Δ=4−4a>0\Delta=4-4a>0 ，即
解：求导可得 f′(x)=x2+2ax+(2a−1)=(x+1)(x+2a−1)f(x)=x^{2}+2ax+(2a-1)=(x+1)(x+2a-1) .
令 或f′(x)=0⇒x=−1或x=1−2af(x)=0\Rightarrow x=-1或x=1-2a
比较两根大小：
（1）当 1−2a<−1⇒a>11-2a<-1\Rightarrow a>1 ，
a≥1a\geq1 （画简图）
∴ f(x)f(x) 在，(−∞，−1−2a)\left( -∞，-1-2a\right) 和，(−1，+∞)\left( -1，+∞\right)上单调递增.
(1−2a,−1)\left( 1-2a,-1 \right) 上单调递减.
（2）当 1−2a=−1⇒a=11-2a=-1\Rightarrow a=1
f′(x)≥0f(x)\geq0 恒成立
∴ f(x)f(x) 在RR上单调递增.
（3）当 -1\Rightarrow a<1">1−2a>−1⇒a<11-2a>-1\Rightarrow a<1
（画简图）
∴ f(x)f(x) 在，(−∞，−1)\left( -∞，-1\right) 和，(−1−2a，+∞)\left( -1-2a，+∞\right)上单调递增 .
，(−1，1−2a)\left( -1，1-2a\right) 上单调递减.
例2的类型就是导函数为二次函数形式能分解因式，对于这类题型我们所采用的方法为先分解因式再比较两根的大小进行讨论。例3 求函数 f(x)=13ax3+12x2+x+1f(x)=\frac{1}{3}ax^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+x+1 的单调区间；
解：求导可得 f′(x)=ax2+x+1f(x)=ax^{2}+x+1 .
讨论二次项系数
（1）当 a=0a=0 ，即 x=−1x=-1 时，
0\Rightarrow x>-1">f′(x)>0⇒x>−1f(x)>0\Rightarrow x>-1
f′(x)=ax2+x+1f(x)=ax^{2}+x+1 , Δ=1−4a\Delta=1-4a
①当Δ=1−4a≤0⇒a≥14\Delta=1-4a\leq0\Rightarrow a\geq\frac{1}{4}
f′(x)≥0f(x)\geq0 恒成立，
∴ f(x)f(x) 在RR上单调递增.
②当0\Rightarrow 0
令 f′(x)=ax2+x+1=0f(x)=ax^{2}+x+1=0
∴ x1=−1−1−4a2ax_{1}=\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2a}
x2=−1+1−4a2x_{2}=\frac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}
且
令 f′(x)=ax2+x+1=0f(x)=ax^{2}+x+1=0
∴ x1=−1−1−4a2ax_{1}=\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2a}
x2=−1+1−4a2x_{2}=\frac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}
且 x_{2}">x1>x2x_{1}>x_{2} ，
∴f(x)f(x)在 ，(−∞，−1+1−4a2a)\left( -∞，\frac{-1+\sqrt{1-4a}}{2a}\right) 和，(−1−1−4a2，+∞)\left(\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}，+∞\right)上单调递减；
，(−1+1−4a2a，−1−1−4a2)\left(\frac{-1+\sqrt{1-4a}}{2a} ，\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2} \right)上单调递增.
例3的类型就是导函数为对于二次项系数的讨论，对于这类题型我们所采用的方法为先讨论二次项系数再讨论 Δ \Delta 。上面三道题目就是导函数中求单调性最核心的题型了，掌握以上方法就可以开始做做考试中真正的导函数求单调性问题了。
我们来看看下面几道经典的高考题
例4（2016年·全国卷Ⅱ） 讨论函数 f(x)=x−2x+2exf(x)=\frac{x-2}{x+2}e^{x} 的单调性.
解：求导可得 f′(x)=(x−2x+2)′·ex+x−2x+2·(ex)′f(x)=\left( \frac{x-2}{x+2} \right)^{}·e^{x}+\frac{x-2}{x+2}·\left( e^{x} \right) .
=(x+2)−(x−2)(x+2)2·ex+x−2x+2·ex=\frac{(x+2)-(x-2)}{(x+2)^{2}}·e^{x}+\frac{x-2}{x+2}·e^{x}
=x2(x+2)2·ex=\frac{x^{2}}{(x+2)^{2}}·e^x （ x≠−2x\ne-2 ）
∵f(x)=x2(x+2)2·ex≥0∵f(x)=\frac{x^{2}}{(x+2)^{2}}·e^x\geq0
∴f(x)∴f(x) 在 ，(−∞，−2)\left( -\infty，-2 \right) ，，(−2，+∞)\left( -2，+ \infty\right)上单调递增.
例6（2018年·全国卷Ⅰ） 讨论函数 f(x)=1x−x+alnxf(x)=\frac{1}{x}-x+aln x 的单调性.
解：求导可得 0)">f′(x)=−1x2−1+ax=−x2+ax−1x2(x>0)f(x)=-\frac{1}{x^{2}}-1+\frac{a}{x}=\frac{-x^{2}+ax-1}{x^{2}}(x>0) .
设 ，g(x)=−x2+ax−1=0，Δ=a2−4g(x)=-x^{2}+ax-1=0，\Delta=a^{2}-4
（1）当
∴
设g(x)=2(1+x)ln(1+x)−x2−2xg(x)=2(1+x)ln(1+x)-x^2-2x ；
g′(x)=2ln(1+x)−2xg’(x)=2ln(1+x)-2x；
设 h(x)=2ln(1+x)−2xh(x)=2ln(1+x)-2x
h′(x)=21+x−2=−2x1+xh’(x)=\frac{2}{1+x}-2=\frac{-2x}{1+x}
(i)当
∴h(x)h(x) 在 ，(0，+∞)(0，+\infty) 上单调递增；
(ii)当 0">x>0x>0 时，
∴f(x)∴f(x) 在 ，(−1，0)(-1，0) 上单调递增；
当 0">x>0x>0 时，
