本
文
摘
要
函数有界的定义：设f为定义在D上的函数，若存在正数M，使得对每一个x∈D，有 （）|f（x）|≤\left| f（x） \right|\leq\ M，则称f为D上的有界函数。
放缩法对原函数进行放缩，使原函数变为一个常数，或者简化原函数从而找出M。
Hn≤Gn≤An≤Qn（均值不等式）就是一种很好的放缩工具。
调和平均数几何平均数算数平均数平方平均数例：证f（x）＝ ＋xx2＋1\frac{x}{x^{2}＋1} （x∈R）为有界函数。
解:∵ ＋＝x2＋12≥x2＝|x|\frac{x^{2}＋1}{2}\geq\sqrt{x^{2}}＝\left| x \right| ∴ （）＝＋|f（x）|＝|x|x2＋1≤12\left| f（x） \right|＝\frac{\left| x \right|}{x^{2}＋1}\leq\frac{1}{2} ∴f（x）为定义在R上的有界函数。
定义法函数既有上界又有下界，则函数有界。所以可以分别证明f有上界，f有下界，则f有界。
运算法若f，g在相同的定义域上均有界则f和g做加法，减法，乘法后得到的函数仍有界函数。
证明：设f，g为定义在D上的函数，且 |f|≤\left| f\right|\leq M1M_{1} ， |g|≤\left| g \right|≤ M2M_{2} 。（ M1M_{1} , M2M_{2} ≥0）
加法： ＋|f＋g|≤\left| f＋g \right|\leq ＋|f|＋|g|\left| f \right|＋\left| g \right| ≤ ＋M1＋M2M_{1}＋M_{2} ＝ ＞M3＞0M_{3}＞0 ∴h＝f＋g为定义在D上的有界函数。
减法：∵ |g|≤M2\left| g\right|≤M_{2} ∴ ﹣|﹣g|≤M2\left| ﹣g \right|≤M_{2} ∴ ＋（﹣）＋﹣＋＝＞|f＋（﹣g）|≤|f|＋|﹣g|≤M1＋M2＝M3＞0\left| f＋（﹣g） \right|≤\left| f \right|＋\left| ﹣g \right|≤M_{1}＋M_{2}＝M_{3}＞0 ∴h＝f－g是定义在D上的有界函数。
乘法： ＝＝＞|f·g|＝|f|·|g|≤|f|·M2≤M1·M2＝M3＞0\left| f·g\right|＝\left| f\right|·\left| g\right| ≤\left| f\right|·M_{2}≤M_{1}·M_{2}＝M_{3}＞0 ∴h＝f·g为定义在D上的有界函数。
除法：设D＝(0,1)， ＝f＝xf＝x ， ＝g＝x2g＝x^{2} 。则 ＜|f|＜1\left| f\right|＜1 ， ＜|g|＜1\left| g\right|＜1 。
＝|fg|＝|1x|\left| \frac{f}{g} \right|＝\left| \frac{1}{x} \right| ， ∀\forall M＞0， ∃\exists ＝＋x＝1M＋1x＝\frac{1}{M＋1} ，s.t. ＞|fg|＞M\left| \frac{f}{g} \right|＞M ∴ ＝h＝fgh＝\frac{f}{g} 为无界函数。
注：这个方法在用的时候要证明，不能直接用。（比如你想用两个函数相加得到的函数仍是有界函数那一条你把已知的两个函数带入上面的公式写一遍，而不能直接说，因为这两个函数有界，他俩相加就有界。）
单调性法（作者想不到描述这个方法合适的名字了，，，）若函数在定义域上可导，则可对函数求导判断出函数的单调性，然后求出定义域内的最大值 M1M_{1} 和最小值 M2M_{2} 则M＝MAX{ |M1|\left| M_{1} \right| ， |M2|\left| M_{2} \right| }， |f|≤M\left| f \right|≤M 。（此法不常用，如果求导很简单的话，这题就太简单了，就没啥意义了。若定义域上除了个别点之外都可导，则可以单独求那几个点的数值。）
连续法（作者想不到描述这个方法合适的名字了，，，）闭区间上的连续函数有界（这是个定义，可以直接用）
若函数定义在闭区间上，证明函数连续，则函数有界。（初等函数在其定义区间为连续函数，这个已经证明可以直接用）
这个方法简单粗暴，比如 （）＝＋＋＋f（x）＝x5＋x＋6x＋23 f（x）＝\frac{x^{5}＋\sqrt{x＋6}}{\sqrt[3]{x＋2}} ，x∈D，D＝【4,8】。可以说f（x）是定义在D上的连续函数，D为闭区间，所以f（x）为D上的有界函数。这就证完了。
极限法上一个方法是针对于闭区间的函数而这个方法就是针对于开区间的函数了。
（）存在则在的某空心邻域上有界。limx→x0f（x）存在则f在x0的某空心邻域上有界。\lim_{x\rightarrow x_{0}}{f（x）}存在则f在x_{0}的某空心邻域上有界。 （这是个定理，也可以直接用）
证f为定义在D上的有界函数，D＝（a，b）。
若你可以证明f在D上连续， ﹢（）limx→a﹢f（x）\lim_{x \rightarrow a^{﹢}}{f（x）} 存在， ﹣（）limx→b﹣f（x）\lim_{x \rightarrow b^{﹣}}{f（x）} 存在，即可证明f为D上的有界函数。证法如下：取 α\alpha ，在以a为中心， α\alpha 为半径的右邻域内 ﹢（）limx→a﹢f（x）\lim_{x \rightarrow a^{﹢}}{f（x）} 存在，所以f在这个右邻域内有界。取 β\beta ，在以b为中心， β\beta 为半径的左邻域内 ﹣（）limx→b﹣f（x）\lim_{x \rightarrow b^{﹣}}{f（x）}存在，所以f在这个左邻域内有界。∵f在（a，b）上连续∴f在 D1D_{1} ＝【 ＋a＋αa＋\alpha ， －b－βb－\beta 】上连续，所以f在 D1D_{1} 上有界。所以f为定义在上的有界函数。
到此，本片文章就结束了，因为作者的水平非常有限所以总结的不够全面，也可能存在错误，欢迎大家无偿补充和指正错误，希望这些总结能帮到大家。
