本
文
摘
要
本篇总结的内容是求值域的通性通法，会从三种类型函数重点讲解如何求值域：
分式函数根式函数绝对值函数首先在继续下滑学习进阶版之前，摸着良心问问自己，以下三大基本类的函数值域你都会了吗？
1.常见函数的值域：
2.对勾函数、飘带函数
不知道的小朋友请戳
对勾+飘带
3.二次含参函数的值域
定轴定区间定轴动区间动轴动区间动轴定区间OK，完成第一关后，接下来我会告诉你求值域的n种方法，这些几乎在各个教材上都有总结，但是这些方法你仅仅是背下来，是没啥用滴，要学会是如何分析的，在什么情形下使用，所以真的没有死记硬背的必要。
Part1：根式函数的值域
1、单根式 ，y=ax+b+cx+d，ac≠0y=ax+b+\sqrt{cx+d}，ac\ne0
例1.求 y=2x+1−xy=2x+\sqrt{1-x} 的值域
通常遇到根式，会倾向于选择用换元法，大家都懂的（此时为代数换元）但，并不是所有情况下都有必要去换元，继续看例题
例2.求 y=2x+x−1y=2x+\sqrt{x-1} 的值域
咱们先分析函数的单调性，显然函数是增函数，用到的结论是增函数+增函数=增函数。
定义域为 [1,+∞)[1,+\infty) ，值域为 ，）[2，+∞）[2，+\infty）例3.求 y=x+1−x2y=x+\sqrt{1-x^{2}} 的值域
形如y=ax+b+cx2+d,ac≠0y=ax+b+\sqrt{cx^{2}+d},ac\ne0 的函数，此时使用代数换元就不管用了，那么还可以怎么处理呢？
由于两项的平方和为定值，此时可以使用三角换元。三角函数值域怎么求？友情指路
例4.求 y=2x+4(x−1)2+1y=2x+4\sqrt{(x-1)^{2}+1} 的值域
两项平方和不是定值，前面的方法都不能用。
可以考虑移项后，两边同时平方消去根号，得到关于x的一元二次方程，由于方程有解，判别式≥0即可。2、双根式，y=ax+b+cx+d，ac≠0y=\sqrt{ax+b}+\sqrt{cx+d}，ac\ne0
例1.求 y=2x−4+x−4y=\sqrt{2x-4}+\sqrt{x-4} 的值域
此时同样可以分析函数单调性，已知函数单调增，只需求出定义域即可。
定义域为 [4,+∞)[4,+\infty) ，值域为 ，）[2，+∞）[2，+\infty）例2.求y=8−x+x−4y=\sqrt{8-x}+\sqrt{x-4} 的值域
由于两项的平方和为定值，此时可以使用三角换元。
过程略例3.求 y=2x−4+4−xy=\sqrt{2x-4}+\sqrt{4-x} 的值域
此时咱们可以用向量解决问题。例4.求 y=x2−x+1+x2+x+1y=\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{x^{2}+x+1} 的值域
可将函数化简变形，得到的形式可理解为距离之和，即考虑形式的几何意义。（具体点的坐标需要结合题目）总结：，y=ax+b+cx+d，ac≠0y=\sqrt{ax+b}+\sqrt{cx+d}，ac\ne0
若 0">ac>0ac>0 ，则函数单调；若 a+c=0a+c=0 ，考虑三角换元；若