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文
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要
原文章：
XM73：解一元一次方程3 赞同 · 0 评论文章方程
凡是含有变量的等式都叫做方程。这些方程中，有些能确定变量的值（如 a=4a=4 ），有些不能确定变量的值但能给出多个变量之间的关系（如 y=x+3y=x+3 ），还有些什么信息也提供不了（如 2x=2x2x=2x ）。通过方程确定变量的值，或者把一个变量用其它变量表示，就叫做解方程。变量和方程的研究是数学中的一大领域，它被叫做代数。
一元一次方程
有些方程很复杂，例如 3x4−4xyz+7xy2+2z2−8y−5z=133x^4-4xyz+7xy^2+2z^2-8y-5z=13 。还有些方程很简单，例如 p+3=8p+3=8 。最简单的一类方程叫做一元一次方程。一元一次方程只涉及一个变量，而且等号两边都可以表示为次数不超过 11 的整式。“一元”的意思就是只有一个变量，“一次”的意思就是等号两边都可以表示为次数不超过 11 的整式。
像 a−6=9a-6=9 、 5y+3=25y+3=2 、 3x+1=2x−23x+1=2x-2 、 x5+2(x+4x−3)=8\frac{x}{5}+2(x+4x-3)=8 这样的方程都是一元一次方程。然而，像 4a+5b=−74a+5b=-7 这样的方程不是一元一次方程，因为它涉及两个变量；像 x2−x=6x^2-x=6 这样的方程不是一元一次方程，因为它的等号左边是一个次数为 22 的整式；像 5n−1=4n+3\frac{5}{n-1}=\frac{4}{n+3} 这样的方程不是一元一次方程，因为它等号两边都不是整式；像 x−x=0x-x=0 这样的方程也不是一元一次方程，因为它可以简化为 0=00=0 ，一个变量也不涉及。（但 x−x=0x-x=0 也是方程，只不过它的变量最终能被全部简化掉，所有数都是它的解；如果这看起来没什么道理，这只是一个名词，不是数学本身没有道理）
简单的一元一次方程
我们接下来开始研究怎么解一元一次方程。
一
最简单的一元一次方程就是像这样的方程： x=4x=4 。方程的一边是一个变量，另一边是一个数，这样就确定了变量的值。解其它的一元一次方程就要把它变形成这种形式。二
例：解方程 c−2=8c-2=8 。解：这个方程的一边是一个变量和一个数的和（减法就是相反数的加法），另一边是一个数。解这个方程需要用到等式的性质：等式两边同时加、减、乘、除同一个数（乘、除以 00 除外），新等式和之前的等式等价。这是什么意思？这就是说，如果新等式成立，那之前的等式必然成立；反正，如果新等式不成立，那之前的等式也必然不成立。对于方程来说，这个的意思就是：方程两边同时加、减、乘、除同一个数（乘、除以 00 除外），新方程和原来的方程的解相同，既不会失去解，也不会出现新的解。这是我们解任何方程的基础。
（至于为什么不能两边同时乘以 00 ，乘以 00 会导致两边都变成 00 。这样，无论原来是什么东西，等式都变成了 0=00=0 ，永远是成立的。）
（这个性质不是显然的！在等式两边做某些运算就不满足这一特性。例如，把等式两边平方就不是所有时候都可以做的。方程 x=−xx=-x 应当只有一个解： x=0x=0 ，因为只有 00 的相反数是它自己。但是如果把两边同时平方，就得到 x2=(−x)2=x2x^2=(-x)^2=x^2 ，而所有的数显然都是这个方程的解。如果仔细思考一番，可以发现，这是因为两个数的平方相等，不见得这两个数就相等。这样，方程就会多出一些解来。所以加、减、乘、除能满足这一特性是因为如果两个数相等，它们加、减、乘、除同一个数也相等，且如果两个数加、减、乘、除同一个数相等，它们就一定相等。这个问题体现了数学中一个很深刻的概念，这里暂不做更多的讨论。）
所以，我们用这个性质，就可以把 c−2=8c-2=8 两边同时加 22 变形为 c−2+2=c=8+2c-2+2=c=8+2 ，这又回到了“一”中处理的形式，解出来了。它的解就是 c=10c=10 。
三
例：解方程 3a=123a=12 。解：这个方程的一边是一个变量和一个数的乘积，另一边是一个数。有了刚才的性质，也可以很快把它解出来：两边同时除以 33 ，方程就变形为 3a3=123\frac{3a}{3}=\frac{12}{3} ，也就是 a=123a=\frac{12}{3} ，回到了“一”中处理的形式，也解出来了。
四
刚才处理了加法和乘法，我们再看一个既有加法，又有乘法的方程。例：解方程 −5a+3=18-5a+3=18 。
解：我们要把“ −5a-5a ”中的“ −5-5 ”消掉，或者把“ +3+3 ”消掉，变成“二”或“三”中处理的形式。根据这一点，我们有两种方式可以解这个方程：要么把两边同时除以 −5-5 ，变成 a−35=−185a-\frac{3}{5}=-\frac{18}{5} ，是“二”中处理的形式；要么把两边同时减去 33 ，变成 −5a=18−3=15-5a=18-3=15 ，是“三”中处理的形式。
具体用哪种方式简单取决于方程本身。这里，用第二种方式要简单，因为这样不用引入分数。有时，用第一种方法更简单，例如 12a+24=7212a+24=72 ，直接把两边同时除以 1212 就变成 a+2=6a+2=6 ，没有引入分数，也变形成了“二”中处理的形式。
复杂一些的一元一次方程
我们再看一些复杂一些的一元一次方程。
五
例：解方程 2q2−q+3+3q−7=2q+8+2q2−2−5q2q^2-q+3+3q-7=2q+8+2q^2-2-5q 。解：这个方程看起来很复杂，左边和右边都有很多项。它甚至看起来都不是一元一次方程，因为左边有一项 2q22q^2 。但是我们可以用合并同类项的方法来简化它。
在方程中，分别在等式两边的同类项也可以合并，例如这里左边的 −q-q 和右边的 2q2q 。具体过程如下：
2q2−q+3+3q−7=2q+8+2q2−2−5q2q2−q+3+3q−7−(2q+8+2q2−2−5q)=2q+8+2q2−2−5q−(2q+8+2q2−2−5q)2q2−q+3+3q−7−2q−8−2q2+2+5q=0(2q2−2q2)+(−q+3q−2q+5q)+(3−7−8+2)=05q+10=0\begin{align} 2q^2-q+3+3q-7&=2q+8+2q^2-2-5q \\ 2q^2-q+3+3q-7-(2q+8+2q^2-2-5q)&=2q+8+2q^2-2-5q-(2q+8+2q^2-2-5q) \\ 2q^2-q+3+3q-7-2q-8-2q^2+2+5q&=0 \\ (2q^2-2q^2)+(-q+3q-2q+5q)+(3-7-8+2)&=0 \\ 5q+10&=0 \end{align}
把方程的两边同时减去右边时，右边变成 00 ，原来的方程两边的每项都会跑到左边来，就可以合并同类项了。像这样方程两边同时加减一些项是简化方程的一个重要方法，这个方法叫做“移项”。可以看见，一项移到等式另一边后要变号。注意方程两边的 2q22q^2 刚好消掉了，方程变成了“四”中处理的形式。解出来得到 q=−2q=-2 。
我们在“二”和“四”中用的方法本质上也是移项和合并同类项，因为两个数也是同类项。
六
例：解方程 2(3+x)−(4x−7)=52(3+x)-(4x-7)=5 。2(3+x)−(4x−7)=5(6+2x)−(4x−7)=56+2x−4x+7=5\begin{align} 2(3+x)-(4x-7)&=5 \\ (6+2x)-(4x-7)&=5 \\ 6+2x-4x+7&=5 \\ \end{align}
得到的这个方程两边都没有括号。我们可以按照“五”中的方法用移项和合并同类项简化这个方程：
6+2x−4x+7=56+2x−4x+7−5=5−5(6+7−5)+(2x−4x)=08−2x=0x=4\begin{align} 6+2x-4x+7&=5 \\ 6+2x-4x+7-5&=5-5 \\ (6+7-5)+(2x-4x)&=0 \\ 8-2x&=0 \\ x&=4 \end{align}
但是对于一元一次方程，把数都移到方程的一边，变量都移到另一边经常要快一些：
6+2x−4x+7=5(2x−4x)+(6+7)=5(2x−4x)+(6+7)−(6+7)=5−(6+7)−2x=−8x=4\begin{align} 6+2x-4x+7&=5 \\ (2x-4x)+(6+7)&=5 \\ (2x-4x)+(6+7)-(6+7)&=5-(6+7) \\ -2x&=-8 \\ x&=4 \end{align}
这样可以更直接地得到答案。但只有一元一次方程这样做比较快，其它方程就不一定了。
七
例：解方程 2x−36=−5x+49\frac{2x-3}{6}=\frac{-5x+4}{9} 。解：这个方程有分数，但这不是问题。根据分数的定义，这个方程可以变形为 16(2x−3)=19(−5x+4)\frac{1}{6}(2x-3)=\frac{1}{9}(-5x+4) 。而这就是一个含括号的一元一次方程，我们在“六”中处理过。用“六”中的方法可以得到
16(2x−3)=19(−5x+4)26x−36=−59x+4926x+59x=49+3689x=1718x=1716\begin{align} \frac{1}{6}(2x-3)&=\frac{1}{9}(-5x+4) \\ \frac{2}{6}x-\frac{3}{6}&=-\frac{5}{9}x+\frac{4}{9} \\ \frac{2}{6}x+\frac{5}{9}x&=\frac{4}{9}+\frac{3}{6} \\ \frac{8}{9}x&=\frac{17}{18} \\ x&=\frac{17}{16} \end{align}
我们把变量移到方程的一边，数移到另一边，就解出来了。但这里做了很多分数运算，很麻烦。有没有办法简化？
解方程时，两边同时乘一个数（ 00 除外）方程的解不变。我们可以利用这个性质。如果我们一开始就把两边同时乘以 66 和 99 的最小公倍数 1818 ，那分数就都被消掉了：
16(2x−3)=19(−5x+4)3(2x−3)=2(−5x+4)\begin{align} \frac{1}{6}(2x-3)&=\frac{1}{9}(-5x+4) \\ 3(2x-3)&=2(-5x+4) \end{align}
然后再用“六”中的方法简化，就可以解出来了，而且基本不用做分数运算：
3(2x−3)=2(−5x+4)6x−9=−10x+86x+10x=9+816x=17x=1716\begin{align} 3(2x-3)&=2(-5x+4) \\ 6x-9&=-10x+8 \\ 6x+10x&=9+8 \\ 16x&=17 \\ x&=\frac{17}{16} \end{align}
所以，对于有分数的一元一次方程，两边同时乘以所有分母的最小公倍数一般可以简化计算。这叫做“去分母”。
通过这些方法，所有一元一次方程都可以解出来了。
把多元方程看作一元方程
例：解关于 aa 的方程 ab+b=5ab+b=5 。方程在什么情况下无解？
解：这个题目中提到的方程涉及两个变量，不是一元一次方程。但是，我们也可以把它看作一元一次方程处理。
题目中还说“关于 aa 的方程”。这句话的意思就是，我们把 aa 看作变量，其它变量（这里只有 bb ）看作数。字母 bb 在这里可以看作是像 π\pi 一样，即使用的不是数字的符号，表示的也是一个确定的数（但是我们暂时不用考虑 bb 的值是什么，知道它是确定的数就行）。
既然这样，这个方程就可以看作一个一元一次方程，可以用解一元一次方程的方法来解：
ab+b=5ab=5−ba=5−bb\begin{align} ab+b&=5 \\ ab&=5-b \\ a&=\frac{5-b}{b} \end{align}
看起来没有问题了。但是注意，我们同时把两边除以了 bb ，万一 b=0b=0 我们就不能这样做了。这种情况我们要单独处理。若 b=0b=0 ，把它代入原来的方程 ab+b=5ab+b=5 就得到 0a+0=50a+0=5 ，也就是 0=50=5 ，这显然在任何情况都是不成立的。所以，在 b=0b=0 时方程无解。
这个过程可能会产生这样的问题：我们说“若 b=0b=0 ”，这就意味着 bb 是变量。如果 bb 是确定的数，我们就不用这样说，因为我们知道 bb 是不是等于 00 。但我们又说“ bb 看作一个确定的数“，这不是矛盾的吗？
我们解关于 aa 的方程 ab+b=5ab+b=5 ，其实是在同时解无数的方程： a+1=5a+1=5 、 2a+2=52a+2=5 、 −a−1=5-a-1=5 、 3a+3=53a+3=5 …… 这些方程都可以用同样的方法解出来。在数学中，我们经常试着把一个结论变得更通用，所以我们用字母“ bb ”代表方程中的一个系数，然后把 aa 用 bb 表示出来。
所以为什么说我们把 aa 看作变量， bb 看作数是因为在我们解每一个具体的方程时，我们在求 aa 的值，而 bb 是一个确定的数。在解关于 aa 的方程 ab+b=5ab+b=5 时，我们要把 aa 用一个只有 bb 和数字的式子表示出来（bb 和数字是平等的），这样在每个具体的方程中，我们就可以直接代入 bb 的值得到 aa 。例如， b=1b=1 时， a=5−bb=4a=\frac{5-b}{b}=4 ，而方程 ab+b=5ab+b=5 也就是 a+1=5a+1=5 的解就是 a=4a=4 。可以把这样的方程的解看作一种解方程的公式。
例：若关于 bb 的方程 ab+b=5ab+b=5 的解为 b=2b=2 ，求 aa 的值。
解：我们可以按照刚才的方法把 bb 用 aa 表示出来，然后通过 b=2b=2 列出一个方程。但是，因为 b=2b=2 是方程的解，我们可以直接代入 b=2b=2 得到2a+2=52a+2=5 ，解得 a=32a=\frac{3}{2} 。这就是“ b=2b=2 是方程的解”的含义：在 b=2b=2 时等式成立。
例：若关于 xx 的方程 mx|m|−x=2mx^{|m|}-x=2 是一元一次方程，求整数 mm 的值。
解：因为方程是一元一次方程，所以两边都应该是次数不超过 11 的整式，且变量 xx 应该出现。这里必须分情况考虑：
情况1：若 |m|=0|m|=0 ，最左边一项消掉了，得到的方程是 −x=2-x=2 ，是一个一元一次方程。所以 m=0m=0 是可以的。
情况2：若 |m|=1|m|=1 ，这个方程的左边的次数就是 11 。根据绝对值的性质，有 m=1m=1 或 m=−1m=-1 。然而我们还没考虑另外一个条件：变量 xx 应该出现。所以我们 m=1m=1 、 m=−1m=-1 分别代入方程并简化，发现得到的方程分别是 0=20=2 、 −2x=2-2x=2 ，所以只有 m=1m=1 可以。
情况3：若 1">|m|>1|m|>1 ，这个方程左边的次数一定大于 11 ，所以方程不是一元一次方程。
把三种情况综合起来，我们得到 m=0m=0 或 m=−1m=-1 。
这里，我们利用“两边都是次数不超过 11 的整式”的条件，分情况考虑 mm 的值对方程两边次数的影响，然后用“变量 xx 应该出现”检查。
总结
方程是含有变量的等式。通过方程可以限制或确定变量的值。一元一次方程是那些只涉及一个不能消掉的变量，且两边都是不超过一次的整式的方程。
方程两边可以同时加减乘除（乘、除以 00 除外），而保持方程的解不变。这是我们解任何方程的基础。
一元一次方程是最简单的一种方程。通过等式两边同时加减乘除、移项、合并同类项、去括号、去分母等方法可以解所有的一元一次方程。
涉及多个变量的方程也可以看作只有一个变量，其它的变量都看作数。解这样的一个方程相当于同时解无数的方程，是一种解方程的公式。
如果已知一个数是一个方程的解，就得到一个条件：把这个数代入方程，得到的等式成立。
我们在解各种一元一次方程时，用到了两个重要的数学思想：第一，我们从最简单的情况开始，然后把更复杂的情况简化为我们处理过的情况；第二，我们把一个特殊的结论通用化，把数换成字母。这都是解题时可以用的方法。
