2015年北京高考数学真题，导数综合题，这题不会考好大学就难了

大家好！本文和大家分享一道2015年北京高考数学真题。这道题考查了导数的计算、导数的几何意义、导数与函数单调性及导数与函数的最值等问题。这道题的难度不大，如果这道题都不会，那么想考好大学就很难了。

先看第一小问：求切线方程。

求曲线切线方程的一般步骤：

①求出该点的函数值，即f(0)=0；

②求导函数。本题求导函数之前可以先利用对数的运算性质将解析式进行变形，得到f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，再求导就更简单了，即f(x)=1/(1+x)-1/(1-x)；

③求该点的导数值，即f(0)=2；

④用点斜式求直线方程，即y=2x。

再看第二小问：证明。

遇到这种证明题，我们通常是构造一个新函数，然后利用新函数的最值证明不等式成立。

令g(x)=f(x)-2(x+x^3/3)，则g(x)=2x^4/(1-x^2)。由0＜x＜1可知，1-x^2＞0，而x^4＞0，所以g(x)＞0在(0,1)上恒成立，即g(x)在(0,1)上为增函数。所以g(x)＞g(0)=0，从而证明出结论。

第二小问的证明过程中，很多同学容易犯这样一个错误：通过证明函数f(x)在(0,1)上的最小值大于函数y=2(x+x^3/3)在(0,1)上的最大值来证明结论。

这样的证明方法肯定是有问题的，比如本题中当0＜x＜1时，f(x)＞0，而2(x+x^3/3)＜8/3，也就是不满足f(x)的最小值大于g(x)的最大值。虽然满足了f(x)的最小值大于另一个函数的最大值，那么结论肯定成立，但是这样的情况就缩小了f(x)的范围。

具体原因看下面这张图就一目了然了：

再看第三小问：求k的最大值。

第三小问是第二小问的延伸，由(2)可知，当k≤2时，f(x)＞k(x+x^3/3)在(0,1)上恒成立。接下来讨论当k＞2的情况。

令h(x)=f(x)-k(x+x^3/3)，则h(x)=[kx^4-(k-2)]/(1-x^2)。因为0＜x＜1，所以1-x^2＞0，所以只需要通过kx^4-(k-2)的正负来确定h(x)的单调性，并判断h(x)＞0在(0,1)上是否恒成立即可。

总的来说这道题的难度不算大，如果想考好的大学，那么这类题就必须掌握，争取不在这类并不难的题上丢分。