本
文
摘
要
请注意：本文适合追求知识的人前来学习（当然你想学可以就来）
如果你没有足够的耐心，那么请先放松心情（篇幅冗长，难以入目还请见谅）
作者只是把各路大神的东西略微 *** 汇总，上网找了些题
以作者之拙见，略谈曲线系方程的一些方法技巧。
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目录：一、曲线系的定义
二、曲线系所含的数学思想
三、直线系与圆系
四、二次曲线系
五、曲线系方程的局限性
后记
两个解释
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一、曲线系的定义
具有一系列性质相似的曲线（注意：曲线包括了直线的）的 *** ，并且可以通过参数进行调整。
举个例子
图1-1图1-2图1-3观察图1-1、1-2、1-3可以看出红色的圆都是过绿色的圆和蓝色直线的交点这就是他们“共同的性质”。所有这样的圆构成的 *** 就是一个曲线系。
哪些题适用于曲线系（这里以二次曲线为例）？
一般曲线系适用于四条直线交点都在同一个圆锥曲线上（注意如果是定点问题可以看作四个点其中两个合成了一个点，最终只有三个点，下文有对定点定值问题的详解）而且知道他们之间的斜率关系，通过已知的直线特征和已知的曲线，推算出最后一个曲线的特点。大家可以通过例题来加深理解。
二、曲线系所含的数学思想
你可以这么想，上述三个圆都和定圆定直线有关，所以可以大胆使用参数控制红色那个圆。一般的，我习惯把参数写成λ。（其他的也可以）
1、整体处理思想
把所需曲线写成定曲线有关的式子，整体写上，加入参数调整
2、参数变换思想
加入参数，使共同性质不变，得参数变成调整其他性质的工具。
3、从共性中找特性
共性就是共同性质，特性比如过一个点，圆心所在直线，通过特殊条件解出参数带回原式。（在下文会有结论）
再举例子
有这么一个圆 (x−2)2+y2=1(x-2)^2+y^2=1 和直线 y=x−1y=x-1
先把他们化作一般式 x2−y2−4x+3=0x^2-y^2-4x+3=0 和 y−x+1=0y-x+1=0
那么它的曲线系就是 x2−y2−4x+3+λ(y−x+1)=0x^2-y^2-4x+3+λ(y-x+1)=0
再根据他的特性来求解。（λ是参数）
三、直线系与圆系
（可以跳过不看，很简单） 以下λ均为参数
3-1、过直线l1 A1x+B1y+C1=0A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0 和直线l2 A2x+B2y+C2=0A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0 的交点的直线系：
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0A_{1}x+B_{1}y+C_{1}+ λ(A_{2}x+B_{2}y+C_{2})=0 (直线系不包括l2)
3-2、过圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 和直线 Ax+By+C=0Ax+By+C=0 的圆系方程：
（）x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0x^2+y^2+Dx+Ey+F+ λ（Ax+By+C）=0
3-3、过圆C1 x2+y2+D1x+E1y+F1=0x^2+y^2+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}=0 和圆C2 x2+y2+D2x+E2y+F2=0x^2+y^2+D_{2}x+E_{2}y+F_{2}=0 的公共交点的圆的圆系方程：
（）x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0x^2+y^2+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}+λ（x^2+y^2+D_{2}x+E_{2}y+F_{2}）=0
其中圆线系不包括C2，λ=-1为公共弦方程
3-4、与直线 Ax+By+C=0Ax+By+C=0 相切于点（或圆） M(x0,y0)M(x_{0},y_{0}) 的圆系方程是：
(x−x0)2+(y−y0)2+λ(Ax+By+C)=0(x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2+λ(Ax+By+C)=0
3-5与圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 相切于点（或圆） M(x0,y0)M(x_{0},y_{0}) 的圆系方程是：
(x−x0)2+(y−y0)2+λ(x2+y2+Dx+Ey+F)=0(x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2+λ(x^2+y^2+Dx+Ey+F)=0
（λ≠-1，不包括圆本身）
例题1、（既然有现成的那允许作者偷点懒）
思路2就是我们所说的曲线系
例题2、（2010课标）过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为________
【标答】(x－3)2＋y2＝2
解：设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，
则(4-a)2+(1-b)2=r2，(2-a)2+(1-b)2=r2，(b-1) /(a-2) =-1，
解得a=3，b=0，r=" 2" ，故所求圆的方程为（x-3）2+y2=2．
故答案为：（x-3）2+y2=2．
【曲线系法】设曲线系为 (x−2)2+(y−1)2+λ(x−y−1)=0(x-2)^2+(y-1)^2+λ(x-y-1)=0
代入A（4，1）得λ=-2故圆为 (x−3)2+y2=2(x-3)^2+y^2=2
例题3、
【圆系方程解法】1、设圆系方程为 x2+y2−6x+λ(x2+y2−4)=0x^2+y^2-6x+\lambda(x^2+y^2-4)=0
把（2，-2）代入可得 λ=1代入原式可得：
圆C1方程为 x2+y2−3x−2=0x^2+y^2-3x-2=0
2、设圆系方程为 x2+y2−6x+λ(x2+y2−4)=0x^2+y^2-6x+\lambda(x^2+y^2-4)=0
化简可得： (1+λ)x2+(1+λ)y2−6x−4λ=0(1+\lambda)x^2+(1+\lambda)y^2-6x-4\lambda=0
调整系数 x2+y2−6(1+λ)x−4λ(1+λ)=0x^2+y^2-\frac{6}{(1+\lambda)}x-\frac{4\lambda}{(1+\lambda)}=0
圆心为 （，）（31+λ，0）（\frac{3}{1+\lambda}，0） 代入 x+y−1=0x+y-1=0
λ=2，将λ带回原式得： x2+y2−2x−83=0x^2+y^2-2x-\frac{8}{3}=0
圆的方程为 x2+y2−2x−83=0x^2+y^2-2x-\frac{8}{3}=0
以上高一内容只是引入，下面是高二的圆锥曲线。
四、二次曲线系
圆、椭圆、双曲线、抛物线被称为“二次曲线”，两条相交直线被视为二次曲线的退化形式，二次曲线系的一般形式为
Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0Ax^2+ By^2+ Cxy+ Dx+ Ey+F=0
具有某一共同性质的二次曲线，并有这样形式的曲线系叫做二次曲线系。
以下是几个套路模版
这里要注意一下，λ这个参数加在前后都无所谓，一般来说加在一次计算更加简便
1、（常用）若四边形四边的方程为
A1x+B1y+C1=0A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0
A2x+B2y+C2=0A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0
A3x+B3y+C3=0A_{3}x+B_{3}y+C_{3}=0
A4x+B4y+C4=0A_{4}x+B_{4}y+C_{4}=0
则经过四边形四个顶点的二次曲线系为：
(A1x+B1y+C1)(A3x+B3y+C3)+λ(A2x+B2y+C2)(A4x+B4y+C4)=0(A_{1}x+B_{1}y+C_{1})(A_{3}x+B_{3}y+C_{3})+\lambda(A_{2}x+B_{2}y+C_{2})(A_{4}x+B_{4}y+C_{4})=0
注意必须 和l1l3和l2l4l_{1}l_{3}和l_{2}l_{4} 是两组对边
2、2条直线 A1x+B1y+C1=0A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0 A2x+B2y+C2=0A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0 与二次曲线 F(x,y)F(x,y) 交点曲线系
F(x,y)+λ(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0F(x,y)+\lambda(A_{1}x+B_{1}y+C_{1})(A_{2}x+B_{2}y+C_{2})=0
3、过两个二次曲线 F1(x,y)F_{1}(x,y) F2(x,y)F_{2}(x,y) 的二次曲线系
F1(x,y)+λF2(x,y)=0F_{1}(x,y)+\lambda F_{2}(x,y)=0
例题
1、
2、
第一问略
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定点定值问题
解释一下：这里为什么可以用曲线系解出来？
首先三个点都在次曲线上，注意到P点是定点，那么P对应的切线（图中绿线）和AB为一组对边，PA、PB为一组对边，就可以列出曲线系一般方程
(A1x+B1y+C1)(A3x+B3y+C3)+λ(A2x+B2y+C2)(A4x+B4y+C4)=0(A_{1}x+B_{1}y+C_{1})(A_{3}x+B_{3}y+C_{3})+\lambda(A_{2}x+B_{2}y+C_{2})(A_{4}x+B_{4}y+C_{4})=0
就是说一个椭圆上有一个定点P，作两个斜率相乘（或相加）为定值的直线PA、PB,求AB过的定点。
正面代入解答计算有点大。（当然只要你愿意也可以，不是特别复杂，熟练后一般十分钟可以做出来）
如果我们用曲线系的方法......
这个椭圆（二次曲线）可以看作是图中的四个直线构成的二次曲线系
注意，P是定点，那么它可以看作是两个点无限接近汇聚成了一个点。
此时的直线就是该点所在的切线。
这里讲一下切线的求法（基本操作）
再用这个上面的方法来解
例1
【例题详解】（这题化简方法比较巧妙，不要求掌握）例2、已知椭圆C：\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1设直线l与椭圆圆C交于A、B两点，点Q坐标（0，2）若直线QA、QB斜率之和为3，求证：直线l必过定点，并求出定点坐标。
解：设AB为Ax+By+C=0 设QA、QB分别为 y=k_{1}x+2
y=k_{2}x+2
（此处AB的对边可看做是直线QQ（两点重合，可看作为y-2=0））
由椭圆的圆系方程性质可知
(y-2)(Ax+By+C)-\lambda(k_{1}x-y+2)(k_{2}x-y+2)=4x^{2}+9y^{2}-36=0
即 (y-2)(Ax+By+C)=\lambda(k_{1}x-y+2)(k_{2}x-y+2)+4x^{2}+9y^{2}-36 ①
观察两边，欲约去（y-2）则对 4x^{2}+9y^{2}-36 化简
4x^{2}+9（y-2+2)^{2}-36 配凑出（y-2）化简
4x^{2}+9[(y-2)^{2}+4(y-2)+4]-36
则①式可化简为 (y-2)(Ax+By+C)=(4+\lambda k_{1}k_{2})x^{2}+(\lambda +9)(y-2)^{2}-(k_{1}+k_{2}) \lambda x(y-2)+36(y-2)② 等式左边没有 x^{2} ，所以右边 4+\lambda k_{1}k_{2}=0
即 \lambda=-\frac{4}{k_{1}k_{2}} 时②式为 (y-2)(Ax+By+C)=(\lambda +9)(y-2)^{2}-(k_{1}+k_{2}) \lambda x(y-2)+36(y-2)③
两边消去y-2，且因为 k_{1}+k_{2}=3 ③式等于
(Ax+By+C)=(\lambda +9)(y-2)-3 \lambda x+36 问题转化为含参直线必过定点
继续化简得 \lambda（-3x+y-2）+9y+18=0④
使得 \lambda=-\frac{4}{k_{1}k_{2}} 无论怎么变化，都使④式成立
则有 -3x+y-2=0⑤ 且 9y+18=0⑥
联立⑤⑥解得 x=-\frac{4}{3} y=-2
故该定点为 （-\frac{4}{3}，-2）
例3
例4
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五、曲线系方程的局限性
1、无解强行变有解
众所周知
x^2+y^2=1 和 （x-3）^2+y^2=1 没有交点
如果
强行用曲线系求公共直线（实际不存在）能解出解来
设圆系方程并化简可得
(1+\lambda)x^2+(1+\lambda)y^2-6x+8-\lambda=0
令λ=-1发现x=2/3
圆心连线的中垂线（又叫根轴）。于是曲线系就无中生有你就错了。
本题无解
2、漏掉其他的解
你设了 F_{1}(x,y)+\lambda F_{2}(x,y)=0 但是不包括 F_{2}(x,y) 他自身
可能 F_{2}(x,y) 也是一个解然而你在设的时候就已经忽略了。
还有如果有无数解的情况下用曲线系只能求出几个。
3、计算爆炸
有时直接计算还比曲线系方程快，如果你曲线系方程不熟，那就只能直接韦达定理计算。
一般曲线系更简单，但作者觉得啊，一般的题
普通方法=90%无脑爆算+10%思考
曲线系=60%无脑爆算+40%思考
先看看普通的方法计算怎么样，简单就用普通方法，难的话可以尝试曲线系。
(高考全国卷的难度不是特别大，其实看这个可以当做是拓展)
后记
重点是参数变换思想和整体代入思想，曲线系要求的思维能力可能是高三上学期的学生水平。
有时可以大大简化计算，但有时可以把做题者绕晕，得不偿失。
建议：高一高二同学可以学一下思想，多练练曲线系的方法，还是有帮助的。
高三的同学已经有直接代入快速计算的能力，建议按普通方法。
以上是作者汇总的方法，可能有很多错误、缺漏之处，还望各位不喜勿喷，有问题大胆提出。
感谢您的阅读。
（后期更新）稍作改动
先感谢前来学习的你，也感谢大佬们提出的批评和指正
很多人说看不懂曲线的进化和退化，这里是作者疏忽没有详细解释，稍稍解释一下吧。
（以下出现于例题的答案中）
解释一、曲线的进化和退化
曲线进化：一次曲线合成二次曲线的过程称为“进化”
(A_{1}x+B_{1}y+C_{1})=0、(A_{2}x+B_{2}y+C_{2})=0、(A_{3}x+B_{3}y+C_{3})=0、(A_{4}x+B_{4}y+C_{4})=0
四条直线合在一起”进化“为二次曲线
(A_{1}x+B_{1}y+C_{1})(A_{3}x+B_{3}y+C_{3})+\lambda(A_{2}x+B_{2}y+C_{2})(A_{4}x+B_{4}y+C_{4})=0
反之，
曲线退化：二次曲线分解成一次曲线的过程称为“退化”(A_{1}x+B_{1}y+C_{1})(A_{3}x+B_{3}y+C_{3})+\lambda(A_{2}x+B_{2}y+C_{2})(A_{4}x+B_{4}y+C_{4})=0
二次曲线”退化“分解为四条一次曲线
(A_{1}x+B_{1}y+C_{1})=0、(A_{2}x+B_{2}y+C_{2})=0、(A_{3}x+B_{3}y+C_{3})=0、(A_{4}x+B_{4}y+C_{4})=0
解释二、对比系数
曲线系化简之后得到
囗x^2+囗y^2+囗xy+囗x+囗y+囗=0 (囗里是系数)
（这里以 \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 为例）把二次曲线化为这样
3x^2+4y^2-12=0
把这两个系数进行对比
囗x^2+囗y^2+囗xy+囗x+囗y+囗=0
3x^2+4y^2-12=0
发现上下式子中都有 x^2、y^2 和常数项这三项，要使得上下两个式子相等的话，上式中的 xy、x、y 这三项都要和下面那三项对应，然而下面式子中没有这三项（系数为0），所以只要使 xy、x、y 这三项的系数为0即可。列出三个系数等于0的方程解出参数λ即可。
值得注意的是，不可以直接把 x^2、y^2 和常数项这三项系数直接等同，因为他们都是等于0的，可能系数成倍数的关系。
