本
文
摘
要
有限元法是将复杂的结构拆分成数量有限且形状相对简单的单元进行分析，单元之间通过节点进行连接。对于二维模型，单元可以是三角形或四边形；对于三维模型，单元可以是四面体、六面体、棱柱或棱锥的形状，在ANSYS Workbench中，棱柱和棱锥可以看作是四面体和六面体之间的过渡单元。那么，当面对一个几何模型时，有限元法是如何进行分析计算的呢？
第一步：结构离散化将复杂模型拆分成有限个形状相对规则的单元，相当于用一个有限自由度系统代替无限自由度系统。
第二步：选择位移函数
上一节有提到在每个单元内定义形函数，其目的是将几何相对简单的单元的响应通过一个连续的函数表征出来，其单元内部的结果可以通过差值计算得到，从而得到整个计算域的结果。
第三步： 单元刚度矩阵的建立
有限元法的核心是结构的离散，进而使得单元刚度矩阵得以建立。在有限元法中，在已有形函数的基础上，通过虚位移原理，计算出单元的刚度矩阵。
第四步：全结构总刚度矩阵[K]的建立
将各个单元的刚度矩阵按照一定的规则进行装配，这样有利于通过程序进行有限元求解。结构总刚度矩阵[K]体现了结构对载荷的响应，是整个有限元法的基础。在计算真正开始之前，程序已经求解出了结构总刚度矩阵[K]。
第五步：求解平衡方程
在上一步，程序已经得到了结构的总刚度矩阵[K]，之后的计算工作其实就是求解结构平衡方程：
在静力学计算中，由于不考虑惯性和阻尼效应，上式可以简化为
第六步：输出单元结果
有限元法中直接求解得到的结果是节点位移，在有限元软件中，比如ANSYS Workbench中，可以直接输出节点的应力应变等其他力学结果，这些结果都是基于节点位移结果经过二次计算得到的。
图1 ANSYS宣传图 （图片来源ANSYS官网）对应以上各个步骤，仿真工程师在软件操作上也是遵循类似的流程的。
第一步：结构离散化
当仿真工程师从设计工程师手中接过一个几何，首先要做的就是几何清理，对简化后的模型进行网格划分。仿真工程师需要根据自己的经验定义网格的尺寸（兼顾计算时间和结果精度）和网格的类型（形状以及是否考虑中间节点）。
第二步：定义材料模型
不同的材料模型需要不同的输入。比如：对于一般的线性金属材料（如结构钢），杨氏弹性模量和泊松比已经足够；如果需要考虑金属材料的非线性，还需要定义相应的非线性模型等。第三步：连接设置
在大部分的工程问题中，仿真工程师面对的不仅仅是单个体，而是一个组件，组件中每个体之间的连接对于仿真的结果有着重要的影响。焊接还是螺钉连接？螺钉连接是否考虑预紧力？接触是否考虑摩擦？接触状态是否会发生改变等。仿真工程师需要根据实际与自己对结构力学响应的理解和预判，进行合理的定义。
第四步：定义边界条件
根据笔者的仿真经验，在大多数情况下仿真中的边界条件（约束和载荷）很难与结构的实际工况完全吻合，这也是为什么仿真称之为仿真的原因之一。但是，仿真中的边界条件与实际的边界条件究竟有多大的差别？是否可以忽略不计？仿真中以另外一种形式所表现出来的边界条件是否合理？合理程度是否足以对产品的性能进行评估，而不产生明显的误导？是否足以反映出结构失效的根本原因？这些都是应用好结构有限元仿真所需要做足的功课。
以上四步确定了结构的总刚度矩阵[K]。
第五步：求解计算
即求解结构平衡方程。看似计算机的工作，同样也需要仿真工程师的介入。当遇到非线性计算不收敛时怎么办？如何调试设置？如何发现问题？希望通过本专题的介绍，能够让大家在处理大多数非线性问题时，表现地更加从容和有自信。
第六步：结果后处理
输出结果，撰写报告，分析和评估。
图2 有限元法分析流程在下一节中，我们将以一个杆单元为例，详细介绍有限元法
