本
文
摘
要
数学家为什么总是和驴过不去呢？请看下图。
解释一下，什么是驴桥定理。
这是个比喻。我先告诉你答案，驴桥定理就是：等腰三角形两腰对应的两底角相等。我们现在知道这个定理的证明有很多种，而且都很简单，可欧几里得当年在书里证它的时候，用了一个惊人的复杂方法，那会儿学生的几何水平又很差，几乎理解不了。
所以这个定理就有了驴桥的别称，意为：笨蛋的难关。驴指大傻子，桥即为难关。如果连这个命题都搞不定，那后面的难题就更别说了。
现在让我们来攻克这个笨蛋的难关吧。
大约公元前300年左右，欧几里得应邀到埃及的文化中心亚历山大城任教。在那里，他将丰富多彩而又有些杂乱无章的希腊几何材料加以归纳整理，置于一个严密的演绎体系之中，写成一部13卷的巨著《几何原本》。
欧氏几何的基本精神就是从尽可能少的前提出发，推出尽可能多的结果。《几何原本》开头给出了36个定义，5个公设和5个公理。由此推出全部希腊几何命题。
欧氏几何虽然较早地传入欧洲，但在中世纪的欧洲，科学沦为宗教的婢女，远落后于中国。数学在学校里没有地位。13世纪，一位英国学者说，牛津大学的学生，能细心研读《几何原本》第1卷第4命题以后各命题的寥寥无几。第5命题被大学生们称为“笨蛋的难关”。
第五命题是“等腰三角形两底角必相等”。这个命题在我们的几何课本里，是通过做顶角的平分线来证明的。但《几何原本》中做角平分线的命题排在第5命题之后，按逻辑顺序只能用定义，公设，公理和前4个命题来证明第5命题。
排列在第5命题之前的公设，公理和可引用的命题如下：
公设
①从任一点到任一点做直线是(可能的)。
②把有限直线不断循直线延长(是可能的)。
③以任一点为中心和任意一距离(为半径)作一圆(是可能的)。
④所有直角彼此相等。
⑤若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。
公理
①跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。二
②等量加等量，总量仍相等。
③等量减等量，余量仍相等。
④彼此重合的东西是相等的。
⑤整体大于部分。
公设和公理的区别在于，公理是适合于一切科学的真理，而公设只应用于几何。
命题2 过一已知点(作为一个端点)做一线段，使之等于一已给线段。
命题4 若两个三角形的两边和夹角对应相等，它们就全等。
下面让我们运用这些公设，公理和命题，攻克笨蛋的难关。
请看图一
已知ΔABC中AB=AC。
求证：∠B=∠C。
证明：如图一，延长AB(公设2)，在AB延长线上任取一点F，延长AC，以C为端点在AC延长线上截取CG=BF(命题2)，连接FC、GB(公设1)。
在△AFC与△AGB中，AF=AB+BF=AC+CG= AG(公理2)，AC=AB，∠A=∠A，∴△AFC≌△AGB (命题4)，即△AFC与△AGB可以相重合。
∴∠ACF= ∠ABG，FC=GB，∠F=∠G
在△CBF与△BCG中，BF=CG，FC=GB，∠F= ∠G，∴△CBF≌△BCG(命题4)，∴∠1=∠2 ∴∠ABG-∠1=∠ACF-∠2(公理3)。
⇒∠ABC=∠ACB
证毕。
亚历山大晚期的数学家巴普士给出的证明更加巧妙而简捷，他把所给三角形看作△ABC和△ACB“两个”三角形。
证明：在△ABC和△ACB中，AB=AC，∠A=∠A，AC=AB，∴△ABC≌△ACB⇒∠B=∠C
证毕。
关于欧几里得的生平，我们知道得很少很少，但是这部《几何原本》就足以使他不朽。目前我国中学几何教材大体上仍是欧几里得的体系。
在十九世纪急风暴雨般的数学革命中，古老的欧几里得几何也得到了革命性的改造。
站在现代水平上看《几何原本》，它的公理体系并不完备，以至于在证题中，欧几里得常求助于图形的直观。
伟大的德国数学家希尔伯特(1862-1943)，用近代观点。重建欧氏几何的公理体系，1899年希尔伯特出版了他的名著几何基础，至此欧式几何可以说是天衣无缝了。
家庭作业
证明希尔伯特的定理45：任意一个三角形ABC和某一个等底边，而半高线的平行四边形剖分相等。
所谓剖分相等是指两个简单的多边形都能分割成有限多个三角形，而这些三角形成对的对应相等。
答案
图二
按题意只需找到一个与ΔABC等底半高的平行四边形，满足两者剖分相等。
如图2，分别取AC， BC中点D、E，连DE并延长至F，使EF=DE。连BF。则ΔABC与□ABFD（平行四边形）剖分相等。
●花絮
习惯上，在证明完毕后，要写明“证毕”或“证讫”，（拉丁文Quod erat demonstrandum，缩写为Q.E.D.），提醒读者注意，论证完毕，我们可以转向新的方向了。
当自信满满的数学家得意地写下Q.E.D.的时候，该是怎样的心情呢？
请看下图：
图三
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
