本
文
摘
要
数学的极值问题，主要是解决数学函数关系及其定义域的问题，这是由数学条件所制约的。但是物理极值与数学极值有明显的区别。
物理极值，实质是针对某一物理现象的动态范围、发展变化趋势及其极限，这是由物理条件所制约的。物理极值，经常表现为物理约束条件下的最大或最小值，这与数学极值有本质的区别。
就思维表现看，求极值过程是归纳和演绎综合运用过程。在错综复杂的变化条件中，要归纳出一般的状态表现，又要在此基础上，经演绎推理，寻求特殊的极端模型。
这也是建立理想化模型，也要理想化。显然，解极值过程是综合运用几种常规的思维方法的高层次的思维过程。另一方面，解极值过程，需要借助一些初等数学手段，靠扎实的数学基础。从所应用的数学手段来看，求极值可以为下列几种方法：
（一）利用分式的性质求极值
[例1] 物体A放在水平面上，作用在A上的推力F与水平方向成30º角，如图示。使A作匀速直线运动。试问，当物体A与水平面之间的摩擦系数μ为多大时，不管F增大到多大，都可以使A在水平面上，作匀速直线运动?
解：A受力如图所示，由已知，A处于平衡状态，有：Fcosα=fFcos30º=μ（G+Fsin30º），得F=
由已知当公式的分母为零，即F→∞的匀速运动时sin30º－μcos30º=0时得μ=tg30º=0.58，则F→∞，此时都可以使A在水平面上作匀速直线运动。
（二）利用一元二次方程求根公式求极值
有些问题，通过分析列关系式，最后整理出关于一个未知量的一元二次方程。它的根就可能是要求的极值。这种方法应用是很普遍的。
（三）利用一元二次方程判别式△=b2－4ac≥O求极值
[例2] 一个质量为M的圆环，用细线悬挂着。将两个质量为m的有孔的小珠套在环上，且可沿环无摩擦滑动，如图（a）所示。今将两小珠从环的顶端由静止开始释放。证明，当m>
M时，圆环能升起。
证明：取小球为研究对象，受力如图（a）。由牛顿第二定律，得所mgcosθ+N=
由机械能守恒定律，得mgR（1－cosθ）=
由此二式得N=2mg－3mgcosθ （1）上式中，N>0，即cosθ<
以环为研究对象，受力图如（b），在竖直方向，由牛顿第二定律，有T+2N’cosθ—Mg=Ma当环恰好能上升时，a=0，可得2N’cosθ=Mg （3）将（1）代入（3）式中，其中N’为（a）图中N的反作用力。有 2（2mg－3mgcosθ）cosθ=Mg即6mcos2θ－4mcosθ+M=0 （4）（4）式是关于cosθ的一元二次方程。cosθ为实数，则△≥0，即（4m）2－4（6m）M≥0，可得m≥
M 当m=
M时，T恰好为零，但不升起，所以取m>
M为升起条件。
小结：从上面例题中可看出，应用判别式解题时，要注意研究所建立的一元二次方程的特点，表现为两个未知数，把二次方的未知数做为自变量，另一个量就靠判别式而定了。
（四）利用y=ax2+bx+c的极值条件和物理量的边界条件求极值
这里是两种方法的综合应用。一种是利用未知量确定的二次三项式中系数求极大（或极小）值，其条件是x=－b／2a；另一种是由题意中给出的物理量的具体取值范围，取其边界值，确定极小（或极大）值。把两方面结果综合起来，就是所求的取值范围了。
（五）利用三角函数求极值
（六）利用数学归纳法求极值
这种方法在数学中常用，在物理中，也可应用。应对它所解的问题的已知条件常常表现为连续地无限地变化。应用这种方法本身就是一种典型的归纳思维过程。
（七）其他求极值方法
（1）利用排列组合求极值；
（2）利用图像求极值；
（3）利用临界条件求极值；
（4）利用几何法求极值；
（5）求原子能级跃迁辐射光线最多条数[C
=
n]等。
上述方法中可看出灵活应用数学手段是解题的保证。但题中关键条件要靠物理分析得出，其结果也必是物理解。物理极值问题要求有很强的思维能力，应当有针对性地训练，有意识地掌握几种求极值的方法，是很必要的。
