三角函数的极值求法毕业论文（含三角函数的极限求法）

高中数学物理方法18：三角函数 asin⁡θ+bcos⁡θa\sin\theta+b\cos\theta 求极值

虽然说呢，想要学好物理，数学基础很重要，

但是呢，我们仔细想一想，其实高中物理中的数学知识都是滞后的，很多都只是用到一些初中数学就够了，

比如我们用的最多的也就是解方程或者方程组了，要是真的用到点高中数学知识，那真的算是难题了，好像是这样的吧，比如在做大题时用到等差数列、等比数列求和啥的，

当然这一节我们主要讲一讲形如 0,b>0)">asin⁡θ+bcos⁡θ(a>0,b>0)a\sin\theta+b\cos\theta(a>0,b>0) 的三角函数求极值，

当然这一节所给的例题还有其他更加“物理”的方法，但是数学也算是“暴力美学”了，硬算也是可以解决问题的。

对于求解 asin⁡θ+bcos⁡θa\sin\theta+b\cos\theta 的极值，在高中数学中是很简单的，如下，

asin⁡θ+bcos⁡θa\sin\theta+b\cos\theta

，=a2+b2⋅(aa2+b2⋅sin⁡θ+ba2+b2⋅cos⁡θ)，=\sqrt{a^2+b^2}\cdot (\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \sin\theta+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \cos\theta)，

现在令 aa2+b2=cos⁡α\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos\alpha ，

则， ba2+b2=sin⁡α\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin\alpha ，

则， tan⁡α=ba\tan\alpha=\frac{b}{a} ，

好了，我们继续，

asin⁡θ+bcos⁡θa\sin\theta+b\cos\theta

=a2+b2⋅(aa2+b2⋅sin⁡θ+ba2+b2⋅cos⁡θ)=\sqrt{a^2+b^2}\cdot (\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \sin\theta+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \cos\theta)

=a2+b2⋅(cos⁡αsin⁡θ+sin⁡αcos⁡θ)=\sqrt{a^2+b^2}\cdot (\cos\alpha \sin\theta+\sin\alpha \cos\theta)

=a2+b2⋅sin⁡(α+θ)=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(\alpha+\theta)

所以，

情形1：当 α+θ=12π+n⋅2π\alpha+\theta=\frac{1}{2}π+n\cdot2π 时，

即， θ=12π+n⋅2π−α\theta=\frac{1}{2}π+n\cdot2π-\alpha，

则， tan⁡θ=1tan⁡α=ab\tan\theta=\frac{1}{\tan\alpha}=\frac{a}{b} ，

此时，取得最大值， a2+b2\sqrt{a^2+b^2} 。

情形2： 当 α+θ=nπ\alpha+\theta=nπ 时，

即， θ=nπ−α\theta=nπ-\alpha，

则， tan⁡θ=−tan⁡α=−ba\tan\theta=-\tan\alpha=-\frac{b}{a} ，

此时，取得绝对最小值， 00 。

情形3：当 α+θ=32π+n⋅2π\alpha+\theta=\frac{3}{2}π+n\cdot2π 时，

即， θ=32π+n⋅2π−α\theta=\frac{3}{2}π+n\cdot2π-\alpha，

则， tan⁡θ=1tan⁡α=ab\tan\theta=\frac{1}{\tan\alpha}=\frac{a}{b} ，

此时，取得最小值， −a2+b2-\sqrt{a^2+b^2} 。

然后，我们看一个模型，

模型：如下图，水平地面上一质量为 mm 的物块在外力 FF 作用下做匀速直线运动，已知木块和水平地面的动摩擦系数为 uu ，重力加速度为 gg 。

我们受力分析一下，其中外力 FF 与水平 xx 轴方向所成角度为 θθ ，从 xx 轴方向逆时针转动所成角度为正，顺时针方向转动所成角度为负，根据实际情况，θ∈[−π2,π2]\theta\in\left[ -\frac{π}{2},\frac{π}{2} \right] 。

根据受力平衡，

水平方向：

Fcos⁡θ=fF\cos\theta=f (1)

竖直方向：

N+Fsin⁡θ=mgN+F\sin\theta=mg (2)

补充滑动摩擦力公式，

f=μNf=\mu N (3)

联立(1)(2)(3)，解得，

F=μmgμsin⁡θ+cos⁡θF=\frac{\mu mg}{\mu\sin\theta+\cos\theta} ，

然后我们对照上面的三种情形，分别分析上式中的分母 μsin⁡θ+cos⁡θ\mu\sin\theta+\cos\theta ，再次强调注意一下，在这个实际问题中，我们不需要考虑 θ\theta 的周期性，只需要满足 θ∈[−π2,π2]\theta\in\left[ -\frac{π}{2},\frac{π}{2} \right] 。

情形1： μsin⁡θ+cos⁡θ\mu\sin\theta+\cos\theta 最大值为 1+μ2\sqrt{1+\mu^2} ，此时， tan⁡θ=μ\tanθ=\mu ，

此时作用的外力最小， F=μmg1+μ2F=\frac{\mu mg}{\sqrt{1+\mu^2}} 。

情形2： μsin⁡θ+cos⁡θ\mu\sin\theta+\cos\theta 绝对最小值为 00 ，此时， tan⁡θ=−1μ\tanθ=-\frac{1}{\mu} ，

此时作用的外力为无穷大，也就是所谓的“自锁”，就是当外力作用的角度 tan⁡θ=−1μ\tanθ=-\frac{1}{\mu} 时，无论用多大的外力都无法推动物块。

情形3：因为外力不为负值，且角度已经超过实际的角度范围，该情形不再考虑，其实对应着情形1，小伙伴们自己思考一下哈！

当然，关于这个问题，我们利用滑动摩擦力的“全反力”知识点分析更加方便哈，这一节只是为了介绍数学方法而已，关于“全反力”见文章“袁野：力的大小怎么变？问题全解！”和“袁野：关于滑动摩擦力的解题小技巧，弹力与摩擦力合成的运用”！

好了，讲完啦！

小伙伴们再自己理解一下哈！

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附：文章中提到的相关阅读

1.袁野：力的大小怎么变？问题全解！

2.袁野：关于滑动摩擦力的解题小技巧，弹力与摩擦力合成的运用