奇葩的函数解析式（最神奇的函数）

u:E⊆D(R)→Ru: E \subseteq\mathscr D(\mathbb R) \to \mathbb R ， ⟨u,φ⟩:=∑n=0∞2−nφ(n)(0)\left\langle u, \varphi\right\rangle:=\sum_{n=0}^\infty 2^{-n}\varphi^{(n)}(0)

(定义域取为全体使得右式收敛的 φ∈D(R)\varphi \in \mathscr D(\mathbb R) )

这个看起来很规整的玩意儿是个线性泛函但不连续，因此它不是一个分布。

我证这个玩意儿证了一晚上没证出来......

一些注解：一个分布(distribution)或者说广义函数(generalised function)是一种对普通函数的推广。比如著名的Dirac δ\delta 函数，物理学家会用

δ0(x)=0,∀x≠0;∫Rδ0(x)dx=1\delta_0(x) = 0, \quad \forall\, x \ne 0; \quad\quad \int_{\mathbb R} \delta_0(x)\, \mathrm d x=1

来定义。但是一个几乎处处为零的函数积分一定等于零，因此 δ\delta 函数不是一个普通的函数。在现代微积分当中，我们把它定义成一个线性泛函 δ0:φ↦φ(0)\delta_0: \varphi \mapsto \varphi(0) ，这正好对应物理学家喜欢说的“筛选性质”： ∫Rδ0(x)φ(x)dx=φ(0)\int_{\mathbb R} \delta_0(x)\varphi(x)\, \mathrm d x =\varphi(0)

通过分布，我们可以把微分学进一步推广，从而使得很多看起来很怪异的函数都能定义甚至无限阶可导。这些好的性质要求我们把分布的定义域选在一个“好的”函数集上，也就是所谓的检验函数(test function)：

若 φ:R→R\varphi: \mathbb R \to \mathbb R 光滑（任意阶可导），且满足 supp⁡φ:={x∈R:φ(x)≠0}¯⊆R\operatorname{supp}\varphi:=\overline{\{x\in\mathbb R: \varphi(x)\ne0\}} \subseteq \mathbb R 是一个紧集，则称之为一个检验函数。检验函数的 *** 记为 Cc∞(R)\mathrm C^\infty_{\mathrm c}(\mathbb R) 或 D(R)\mathscr D(\mathbb R) 。在 D(R)\mathscr D(\mathbb R) 上我们可以定义一个拓扑，使得在 D(R)\mathscr D(\mathbb R) 上的收敛性由如下方式给出：

我们说 φn→Dφ\varphi_n \xrightarrow{\mathscr D} \varphi ，是指存在一个紧集 K⊆RK \subseteq \mathbb R ，使得 supp⁡φn,supp⁡φ⊆K\operatorname{supp} \varphi_n, \operatorname{supp} \varphi \subseteq K ，且各阶导数 φn(k)\varphi^{(k)}_n 在 KK 上一致收敛到 φ(k)\varphi^{(k)}。

一个线性泛函 u:D(R)→Ru: \mathscr D(\mathbb R) \to \mathbb R 称为一个分布，是指它关于 D(R)\mathscr D(\mathbb R) 的拓扑连续，也即在上面给出的条件下总是有 ⟨u,φn⟩\left\langle u, \varphi_n\right\rangle 收敛到 ⟨u,φ⟩\left\langle u, \varphi\right\rangle。分布构成的空间 D′(R)\mathscr D(\mathbb R) 是D(R)\mathscr D(\mathbb R)的对偶空间。我们发现，在 D(R)\mathscr D(\mathbb R) 中收敛是一个很强的条件，也就是说D(R)\mathscr D(\mathbb R)“很小”；相应地，线性泛函是分布就是一个很弱的条件，也就是说 D′(R)\mathscr D(\mathbb R)“很大”。诸如Delta函数 δ(x)\delta(x) ，Delta函数的弱导数 δ′(x)\delta(x) ，主值积分 pv⁡(1x)\operatorname{pv}\left(\frac{1}{x}\right) 都是分布。但是我上面给出的那个例子就不是分布。