本
文
摘
要
数字序列 3, 2, 1, 1, 0, 0, 0 非常有意思：整个序列里面正好有 3 个 0、2 个 1、1 个 2、1 个 3、0 个 4、0 个 5 和 0 个 6。类似的例子还有吗？让我们来探究一下。
(1) 能否写出 4 个非负整数，使得第 1 个数正好表示你一共会写多少个 0，第 2 个数正好表示你一共会写多少个 1，第 3 个数正好表示你一共会写多少个 2，第 4 个数正好表示你一共会写多少个 3？
(2) 能否写出 5 个非负整数，使得第 1 个数正好表示你一共会写多少个 0，第 2 个数正好表示你一共会写多少个 1，第 3 个数正好表示你一共会写多少个 2，……，第 5 个数正好表示你一共会写多少个 4？
(3) 能否写出 100 个非负整数，使得第 1 个数正好表示你一共会写多少个 0，第 2 个数正好表示你一共会写多少个 1，第 3 个数正好表示你一共会写多少个 2，……，第 100 个数正好表示你一共会写多少个 99？
更一般地，能否写出 n 个非负整数，使得其中第 k 个数正好等于这里面 k -1 一共出现的次数？
很快你便会发现这个问题的棘手之处：这些数字相互关联，相互制约，可谓是牵一发而动全身。如果 n 不算太大，问题倒并不复杂，简单的试验和分析即可得出结论。当 n 等于 1、2、3 时，问题都是无解的。 n =4 时有两个解：
1, 2, 1, 0
2, 0, 2, 0
n =5 时有一个解：
2, 1, 2, 0, 0
n =6 时无解。
要想解决 n =100 时的情况，盲目尝试显然是不行的。好在，对 n ≥7 的情况稍作考察，你会找到一类非常具有规律的解：
n =7 3, 2, 1, 1, 0, 0, 0
n =8 4, 2, 1, 0, 1, 0, 0, 0
n =9 5, 2, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0
n =10 6, 2, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0
所以，当 n =100 时，下面这 100 个数就满足要求。
96, 2, 1, 0, 0, 0, …, 0, 1, 0, 0, 0
我很喜欢这种精妙的感觉——各个部分都有机地吻合在一起，不能容忍任何一点细微的改动，仿佛沙漠当中的一块手表，往往能给人带来巨大的惊喜和震撼。有一种英文文字游戏叫做 autogram，就是精心构造一个英文句子，使得它正好符合它本身所述的内容，比如下面这个句子。
This autogram contains five as, one b, two cs, two ds, thirty-one es, five fs, five gs, eight hs, twelve is, one j, one k, two ls, two ms, eighteen ns, sixteen os, one p, one q, six rs, twenty-seven ss, twenty-one ts, three us, seven vs, eight ws, three xs, four ys, and one z.
显然，构造这样的句子非常困难。这好比是在针尖上搭建积木楼房一般，我们需要小心翼翼地调整积木的位置，寻找一个精确的平衡点。1982 年，《科学美国人》（ Scientific American ）刊登了一个 autogram 杰作：
Only the fool would take trouble to verify that his sentence was composed of ten as, three bs, four cs, four ds, forty-six es, sixteen fs, four gs, thirteen hs, fifteen is, two ks, nine ls, four ms, twenty-five ns, twenty-four os, five ps, sixteen rs, forty-one ss, thirty-seven ts, ten us, eight vs, eight ws, four xs, eleven ys, twenty-seven commas, twenty-three apostrophes, seven hyphens and, last but not least, a single !
我也尝试构造了一个汉语的 autogram（这确实很不容易）：
这句话里有五个「一」、十个「两」、两个「三」、一个「四」、两个「五」、一个「六」、一个「七」、两个「八」、一个「九」、三个「十」、两个「这」、两个「句」、两个「话」、两个「里」、两个「有」、两个「和」和十八个「个」。
6. 大家或许小时候就发现了一个有趣的现象：2+2 正好等于 2×2。那么，是否有这么 3 个正整数，把它们全部加起来的结果正好等于把它们全部乘起来的结果呢？其实也是有的，比如说 1+2+3=1×2×3。今天，我们将会直面这个问题。
(1) 是否存在 4 个正整数，使得它们的和等于它们的乘积？
(2) 是否存在 5 个正整数，使得它们的和等于它们的乘积？
(3) 是否存在 100 个正整数，使得它们的和等于它们的乘积？
4 个正整数的解也是存在的，比如说 1+1+2+4=1×1×2×4。5 个正整数的解也是存在的，比如说 1+1+1+2+5=1×1×1×2×5。如果你仔细观察这些解，找到规律的话，写出这样的 100 个数也就不难了：
